1.2. Примеры построения математических моделей простейших экономических задач

1. Задача об использовании ресурсов (планирование производства, задача оптимального использования удобрений и т.Д.).

При выпуске n видов продукции используются m видов сырья. Обозначим через

S_i (i=1,2,...,m) - виды сырья;

b_i - запасы сырья i-го вида;

P_j (j=1,2,....n) - виды продукции;

a_ij - количество единиц i-го сырья, идущего на изготовление единицы j-й продукции;

C_j - величина прибыли, полученная при реализации единицы j-й продукции. Все данные можно свести в таблицу (см. табл. 1.).

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц i-го сырья, идущего на изготовление единицы j-й продукции
		P1	P2	...	Pn
S1	b1	a11	a12	...	a1n
S2	b2	a21	a22	...	a2n
...	...	...	...	...
Sm	bm	am1	am2	...	amn
Прибыль от единицы продукции в грн.		C1	C2	...	Cn

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Пусть x_j - количество единиц j-й продукции, которую необходимо произвести.

Тогда математическая модель задачи имеет следующий вид: найти максимальное значение линейной функции L=C₁x₁+C₂x₂++C_nx_n (1) при ограничениях:

(2)

x_j  0, (j=1,2,,n), b_i  0 (i=1,2,  ,m). (3)

Элементы таблицы a_ij образуют матрицу, имеющую m строк и n столбцов, показывающую количество единиц i-го сырья, идущего на изготовление единицы j-й продукции, которую назовем технологической матрицей и обозначим через A; количество b_i ресурсов выразим вектором B=(b₁,b₂,...,b_m) (вектор ресурсов). Назовем планом производства вектор X=(x₁,x₂,...,x_n), показывающий, какие количества товаров P₁,P₂,...,P_n будут произведены. Цены на продукты производства обозначим как вектор C=(C₁,C₂,...,C_n).

Представленная модель, хотя и отражает определенные черты реального производства, тем не менее, сильно идеализирована. Так в ней отсутствует такое важное для производства понятие, как время. Считается также, что все необходимые ресурсы S₁,S₂,...,S_m в нужный момент находятся под рукой. Тем самым мы абстрагировались от острых проблем динамики производства и ритмичности поставок. Здесь также не учитываются затраты живого труда и целый ряд других показателей.

К этому же классу задач относится задача оптимального использования удобрений.

Пусть для выращивания некоторой культуры применяется m видов удобрений соответственно в количестве b_i (I=1,2,…,m) единиц. Вся посевная площадь разбита на n почвенно-климатических зон по d_j (j=1,2,…,n) единиц. Пусть a_{ij ­} количество i-го удобрения, вносимого на единицу площади j-ой зоны, а С_j – повышение средней урожайности, получаемой с единицы площади j-й зоны. Составить такой план распределения удобрений между посевными зонами, который обеспечивал бы максимальный суммарный прирост урожайности культуры.

Обозначим через x_j (j =1,2,…,n) площадь j-й зоны, которую необходимо удобрить, тогда, математическая модель задачи имеет следующий вид:

найти максимальное значение линейной функции L= при ограничениях: , i=1,2,…,m, 0x_jd_j , j=1,2,…,n.

Пример1. Для изготовления двух видов продукции P₁, P₂ используются 4 вида сырья (ресурсов) S₁, S₂, S_3, S₄. Запасы сырья, количество единиц сырья, затраченных на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, полученной от реализации одной единицы продукции, приведены в таблице 2.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Таблица 2.

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц сырья на одну единицу продукции
		P1	P2
S1	18	1	3
S2	16	2	1
S3 S4	5 21	- 3	1 -
Прибыль от единицы продукции в грн.		2	3

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Определяя через x₁ количество единиц продукции P₁, через x₂ - количество единиц продукции P₂, получим систему ограничений:

x₁  0, x₂  0 (4)

которая показывает, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысить имеющихся запасов. Если P₁ не выпускается, то x₁ = 0, иначе x₁ > 0. То же самое и для P₂, x₂ = 0 или x₂ > 0. Следовательно, на x₁ и x₂ должно быть наложено ограничение неотрицательности: x₁  0, x₂  0.

Конечную цель решаемой задачи - получение максимальной прибыли при реализации продукции, выразим как функцию двух переменных x₁ и x₂: L=2x₁ + 3x₂ (грн) (5).

Таким образом, задача принимает следующий вид: необходимо найти максимальное значение линейной функции (5) при ограничениях (4).