Контрольные вопросы

1. Различные формы задач линейного программирования (общая, стандартная, каноническая) и их эквивалентность.

2. Понятие плана, вырожденный и невырожденный опорный план, оптимальный план.

3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования.

Рекомендованная литература: [ 2, 5, 8, 11, 12]

Тема 4. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Розглянуті питання з теми:

4.1. Графический метод решения ЗЛП с двумя переменными

4.2. Графический метод решения ЗЛП с n переменными

4.1. Графический метод решения ЗЛП с двумя переменными

Графический метод основан на геометрической интерпретации ЗЛП и применяется в основном для решения задач в двумерном пространстве, т.е. когда n=2, и только некоторых задач трехмерного пространства, т.к. довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно. Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения.

Формулировка: найти максимальное значение функции Z=C₁x₁+C₂x₂ (1)

при ограничениях

(2)

x₁  0, x₂  0. (3)

Допустим, что система (2) при условии (3) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение, и ее многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2) и (3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничной прямой: a_i1x₁+a_i2x₂=b_i (i=1,2,...,m), x₁=0, x₂=0. Область допустимых решений задачи строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из заданных ограничений.

Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня и опорные прямые.

Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение, т.е. имеет вид C₁x₁+C₂x₂ = const. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль - вектор N=(C₁,C₂).

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с ОДР и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей.

Тогда поставленной ЗЛП можно дать следующую интерпретацию: найти точку многоугольника решений, в которой прямая C₁x₁+C₂x₂ = const является опорной и функция Z при этом достигает максимума.

Построим многоугольник системы ограничений (2) и график линейной функции при Z=0 (см. рис.). Значения Z=C₁x₁+C₂x₂ возрастают в направлении вектора N=(C₁,C₂), поэтому нужно прямую C₁x₁+C₂x₂=0 передвигать параллельно самой себе в направлении вектора N.

Из рис. следует, что прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках A и C), причем минимальное значение Z принимает в точке A, а максимальное - в точке C. Координаты точки C(x₁,x₂) находим, решая систему уравнений прямых BC и CD.

Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоугольную область, возможны два случая.

Случай 1. Прямая C₁x₁+C₂x₂ = const, передвигаясь в направлении вектора N или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу.

Случай 2. Прямая, передвигаясь, все же становится опорной относительно многоугольника решений. Тогда в зависимости от вида области линейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу (a), ограниченной снизу и неограниченной сверху (б), либо ограниченной как снизу так и сверху (в).

Алгоритм графического метода решения ЗЛП с двумя переменными.

1. Построить ОДР.

2. Если ОДР – пустое множество, то задача не имеет решений ввиду несовместности системы ограничений.

3. Если ОДР является непустым множеством, построить нормаль линий уровня N=(C₁,C₂) и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.

4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум – в противоположном направлении.

5. Если при перемещении линии уровня по ОДР в направлении, соответствующем приближению к экстремуму целевой функции, линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.

6. Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих ОДР и имеющих общие точки с соответствующей опорной прямой. Если целевая функция достигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек.

7. После нахождения оптимальных решений вычислить значение целевой функции на этих решениях.