Міністерство освіти і науки України

Національний аерокосмічний університет

ім. М.Є. Жуковського

“Харківський авіаційний інститут”

Кафедра 605

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

з курсу « Економіко-математичні методи та моделі »

для студентів за фахом «Фінанси», «Облік і аудит»

заочної форми навчання

Харків 2016

ВВЕДЕНИЕ

1. История развития, область исследований, цели науки

Одной из характерных особенностей современной науки является широкое проникновение результатов и методов математики в самые разнообразные области исследования.

Научные методы выработки количественно обоснованных рекомендаций по принятию оптимальных решений определили научное направление, получившее название теории исследования операций. Термин "исследования операций" возник в результате перевода с английского ("operations research") условного наименования одного из подразделений британских ВВС, занимавшегося вопросами оптимального использования радиолокационных установок в системе обороны в конце 1930-х годов. Постепенно указанная теория с решения задач военного содержания расширилась для решения как чисто технических, так и экономических задач, задач управления на различных уровнях.

Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели.

Целью теории исследования операций является выбор среди некоторого множества решений, тех решений, которые можно квалифицировать как оптимальные, при некоторых ограниченных ресурсах.

Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции. Следует отметить большой класс оптимизационных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизировать планирование и управление экономическими системами. В общем виде они выглядят так: найти переменные x₁,x₂,...,x_n , удовлетворяющие системе неравенств (уравнений) _i(x₁,x₂,...,x_n)  b_i, 1im;

и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию Z=f(x₁,x₂,...,x_n). Точка X=(x₁,x₂,...,x_n), удовлетворяющая данным ограничениям, называется допустимой или допустимым решением. Среди допустимых точек отыскивается такая, в которой функция f(x₁,x₂,...,x_n) принимает наибольшее значение. Такая точка называется оптимальной или оптимальным решением.

Классические методы оптимизации не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция Z задана таблично, тогда применяются методы математического программирования.

Математическое программирование – составная часть математических дисциплин, изучающих теории и методы нахождения экстремумов (т.е. max и min) функций многих переменных при наличии дополнительных ограничений на эти переменные, которые представляются в виде равенств или не равенств.

Применение методов математического программирования: планирование производства; управление запасами и трудовыми ресурсами; размещение объектов; техническое обслуживание оборудования; работы над проектами и календарное планирование; построение вычислительных, электроэнергетических, военных, транспортных систем; организация городской сферы обслуживания, здравоохранения, туризма, спорта и развлечений и т.д.

2. Классы задач математического программирования

   Выделяют различные классы задач математического программирования. Это связано с набором ограничений на вид целевой функции f, условий g_i и допустимым множеством значений переменных.

1. Если f(x₁,x₂,...,x_n) и условия _i (x₁,x₂,...,x_n) являются линейными функциями, и

X = Rⁿ₊ , то мы имеем задачу линейного программирования.

В линейном программировании существуют классы задач, специфика которых позволяет создать более упрощенные, специфические методы их решения, как пример - транспортная задача или задача о назначениях.

Если, исходя из содержательного смысла, решения задачи должны быть целыми числами, то это задача целочисленного линейного программирования.

2. Нелинейное программирование - если целевая функция (и) или ограничения нелинейные функции.

Подклассы задач нелинейного программирования:

• Если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то такой класс задач называется выпуклым программированием.

• Квадратичное программирование - целевая функция квадратичная, а ограничения являются линейными равенствами или неравенствами.

3. Если область допустимых решений состоит из конечного числа точек - такой класс задач называется дискретным программированием.

4. Если функции f(x₁,x₂,...,x_n), _j(x₁,x₂,...,x_n) зависят от случайных факторов, то такой класс задач называется стохастическим программированием.

5. Исследованием задач, в которых принятие оптимального решения представлено в виде некоторого многошагового процесса, занимается динамическое программирование.

Существуют и другие методы выработки количественно обоснованных рекомендаций по принятию оптимальных решений, которые определили научное направление, получившее название теории исследования операций. Термин "исследования операций" возник в результате перевода с английского ("operations research") условного наименования одного из подразделений британских ВВС, занимавшегося вопросами оптимального использования радиолокационных установок в системе обороны в конце 1930-х годов. Постепенно указанная теория с решения задач военного содержания расширилась для решения как чисто технических, так и экономических задач, задач управления на различных уровнях.

Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели.

Целью теории исследования операций является выбор среди некоторого множества решений, тех решений, которые можно квалифицировать как оптимальные, при некоторых ограниченных ресурсах.

К этим методам относятся:

- теория игр, которая занимается вопросами принятия решений в условиях конфликтных ситуаций, а также вопросами принятия оптимальных решений в условиях неопределенности. К конфликтным ситуациям, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные цели, можно отнести ряд ситуаций в области экономики, права, военного дела и т.п.

• метод Монте-Карло (статистических испытаний),

• теория массового обслуживания,

• задачи сетевого планирование и управления, которые рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса и др.

Раздел 1. Модели линейного программирования и его приложения Тема 1. Математическое моделирование экономических систем

Розглянуті питання з теми:

1.1. Описание процесса математического моделирования

1.2. Примеры построения математических моделей простейших экономических задач

1.1. Описание процесса математического моделирования.

Так как по своей природе математические методы можно применять не непосредственно к изучаемой действительности, а лишь к математическим моделям тех или иных явлений, необходимо формализовать задачу, т.е. составить математическую модель. Математическое моделирование представляет собой математический инструментарий для проведения расчетов большого числа задач экономической практики. Это как простые задачи, такие как распределение ресурсов, перевозки, складирование, так и балансовые расчеты - т.е. задачи экономических расчетов или задачи бухгалтерского типа.

В настоящее время в литературе насчитывается несколько определений понятия "модель", отличающихся друг от друга. Тем не менее это понятие понятно каждому: например, игрушечный самолет, бумажный голубь – модели самолета; формула пути s=vt – математическая модель.

Под моделью будем понимать условный образ какого-либо объекта, приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка.

В экономико-математических моделях таким объектом является экономический процесс (например, использование ресурсов, распределение изделий между различными типами оборудования и т.п.), а языком – классические и специально разработанные математические методы.

Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.

Процесс формирования математической задачи, т.е. проведение экономико-математического моделирования, можно представить в виде следующих этапов:

1. Изучение и осознание свойств предметной области. На этом этапе следует понять все особенности функционирования объекта, четко определить факторы, влияющие на его функционирование, их число и степень влияния, выбрать критерий оптимизации, отражающий цель рассматриваемой задачи.

На производственно-технологическом уровне математическое моделирование начинается с описания производственных возможностей экономической системы, при этом ее разбивают на отдельные производственные единицы. В процессе моделирования выделяют специальные переменные, называемые управлениями, значения которых позволяют отыскать соответствующий вариант развития экономического процесса. Для достижения наилучших результатов формируются критерии (называются целевыми функциями), по которым оцениваются различные виды управления: объём выпуска готовой продукции, прибыль, затраты на производство или транспортировку.

Предполагается, что имеется единственный критерий, по которому определяется такое управление системой, чтобы величина критерия достигала своего максимального (выпуск продукции, прибыль, доход) или минимального (затраты на производство, транспортные расходы и т.п.) значения. Таким образом, формируется соответствующая математическая задача.

2. Экономическое моделирование. Устанавливают и словесно фиксируют основные связи и зависимости между характеристиками процесса или явления с точки зрения оптимизируемого критерия

3. Математическое моделирование. Переводят экономическую модель на формальный матема­тический язык. Все условия записывают в виде соответствующей системы равенств и нера­венств, а критерий оптимизации - в виде фун­кции.

4. Выбор или создание метода решения.

5. Выбор или написание программы для решения задачи на ЭВМ. Программа для ЭВМ реализует выбранный метод решения задачи.

6. Решение задачи на ЭВМ. ЭВМ производит необходимую обработку введенной числовой информации, по­лучает требующиеся результаты (решение) и вы­дает его пользователю в заданной форме.

7. Анализ полученного решения. Он бывает формальным (математическим) и содержатель­ным. При формальном анализе проверяют соот­ветствие полученного решения построенной ма­тематической модели, т. е. производят проверку правильности введения исходных данных, фун­кционирования программы, ЭВМ и т. д. При содержательном анализе проверяют соответст­вие полученного решения тому реальному объекту, который моделировали. В результате содержательного анализа в модель (словесную и математическую) могут быть внесены измене­ния, после чего рассмотренный процесс повторя­ют. Только после полного завершения анализа (и формального, и содержательного) модель может быть использована для расчета.