Решение одного варианта

1. Пусть задана система вида (1) с коэффициентами и свободными членами:

0,68	0,05	-0,11	0,08	2,15
0,21	-0,13	0,27	-0,8	0,44
-0,11	-0,84	0,28	0,06	-0,83
-0,08	0,15	-0,5	-0,12	1,16

1) Так как требуется найти корни с точностью 0,001, а порядок системы не высок, то проведем расчеты с четырьмя знаками после запятой (одна цифра запасная). Для проведения ручных расчетов воспользуемся так называемой расчетной таблицей (см. след. страницу). В первых четырех строках расположены данные исходной системы. Первое уравнение (его числа выделены) оставляем без изменений. Для остальных трех вычисляем множители m₂ = - А₂₁ / А₁₁; m₃ = - А₃₁ / А₁₁ ; m₄ = - А₄₁ / А₁₁. Далее числа первой строки умножаются на m₂ и складываются с соответствующими числами вто­рой строки (т.е. -0,3088*0,05 - 0,13 = -0,1454 и т.д.). Результаты помещаем в пятую строку. Аналогичные операции проделываем с 3-ей и 4-ой строками; результа­ты помещаем в 6-ую и 7-ую строки. Числа в строках 1, 5 - 7 образуют систему вида (З): первое неизвестное из уравнений исключено. Далее со строками 5 - 7, а затем 8 - 9 также проделаем операции по исключению очередного неизвестного. В итоге вы­деленные коэффициенты соответствуют треугольной системе. Во избежание падения точности расчетов множители m следует вычислять до 4 - 5 значащих цифр (не менее).

Вычисления прямого хода, проводимые вручную, необходимо проверять. Проверка осуществляется с помощью двух столбцов сумм. В столбце строчных сумм помещаются суммы коэффициентов и свободного члена соответствующих строк. Числа в столбце контрольных сумм вычисляются параллельно с основными расчетами. Для этого с чис­лами строчных сумм проделываются арифметические операции, аналогичные операциям над коэффициентами. Результаты записываются в столбец контрольных сумм. Напри­мер, контрольная сумма в 5-ой строке получена как результат выражения -0,3088*2,85 - 0,01. Проверка вычислений заключается в том, что соответствующие строчные и контрольные суммы должны быть близки. Если расхождение между ними достигнет нескольких единиц четвертого разряда, то это будет указывать на воз­можную ошибку в вычислениях. Существуют способы контроля вычислений обратного хода, но мы ими не воспользуемся.

	Множи­тели m	Коэффициенты при неизвестных					Свободные члены	Строчные суммы	Контрольные суммы
		x1		x2	x3	x4
1		0,68		0,05	-0,11	0,08	2,15	2,85
2	-0,3088	0,21		-0,13	0,27	-0,8	0,44	-0,01
3	0,1618	-0,11		-0,84	0,28	0,06	-0,83	-1,44
4	0,1176	-0,08		0,15	-0,5	-0,12	1,16	0,61
5				-0,1454	0,3040	-0,8247	-0,2239	0,8900	-0,89008
6	-5,7215			-0,8319	0,2622	0,0729	-0,4821	-0,9789	-0,97887
7	1,0722			0,1559	-0,5129	-0,1106	1,4128	0,9452	0,94516
8					-1,4771	4,7914	0,7989	4,1132	4,11324
9	-0,1266				-0,1870	-0,9948	1,1727	-0,0091	-0,00906
10						-1,6014	1,0716	-0,5298	-0,52983
		КОРНИ
		2,8264	-0,3338		-2,7116	-0,6692

В окончательном результате четвертые цифры после запятой отбрасываем (как сомнительные) и получаем

РЕШЕНИЕ: x₁  2,826; x₂  -0,334; x₃  -2,712; x₄  -0,669.

Полученные корни (округленные) подставим в уравнение системы:

Номер уравнения	Результаты	Свободные члены	Невязки
1	2,14978	2,15	-0,00022
2	0,43984	0,44	-0,00016
3	-0,82980	-0,83	0,0002
4	1,16010	1,16	0,0001

2) С помощью программы получаем следующие значения корней (округленные до 6 цифр после запятой):

x₁  2,826351; x₂  -0,333733; x₃  -2,711759; x₄  -0,669070.

3) В результате ручных расчетов корни получены со следующими погрешностями:

x₁ = 0,0004; x₂ = 0,0003; x₃ = 0,0003; x₄ = 0,0001.

Таким образом, все цифры полученных значений верны в строгом смысле.

4) Выберем для исследования коэффициенты А₁₁, А₄₃ и свободный член В₁. Пусть коэффициент A₁₁ - приближенное число. Найдем решения системы при его предельных значениях 0,675 и 0,685 (остальные числа считаем точными). Получаем:

А₁₁ = 0,675; x₁  2,846231; x₂  -0,337842; x₃  -2,717149; x₄  -0,665003.

А₁₁ = 0,685; x₁  2,806747; x₂  -0,329680; x₃  -2,706444; x₄  -0,673081.

Сопоставляя эти значения с решением пункта 2), заключаем, что при А₁₁=0,005 будет x₁ = 0,02; x₂ = 0,0042; x₃ = 0,0054; x₄ = 0,0041.

Аналогичные расчеты для А₄₃ = 0,005 дают оценки:

x₁ = 0,003; x₂ = 0,01; x₃ = 0,028; x₄ = 0,0085.

При В₁= 0,005: x₁ = 0,0071; x₂ = 0,0015; x₃ = 0,002; x₄ = 0,0015.

Вывод: если коэффициент А₁₁ или А₄₃ считать заданным с точностью до 2-х знаков после запятой (при остальных точных коэффициентах), то получить решение системы с такой же точностью нельзя вследствие неустранимой погрешности. При В₁, задан­ном с точностью до 2-х знаков после запятой, точность решения 0,01 достижима. В целом же погрешность решения даже на порядок не превышает исходной предельной погрешности исследуемых коэффициентов, поэтому во всех трех случаях решение мо­жно считать устойчивым.

2. Дана матрица со следующими коэффициентами и свободными членами:

0,32	-0,05	0,11	-0,08	2,15
0,11	0,16	-0,28	-0,06	-0,83
0,08	-0,15	0	0,12	1,16
-0,21	0,13	-0,27	0	0,44

Оценку точности n-ой итерации дает формула (6). Потребуем, чтобы правая часть формулы (6) не превышала 0,0001. В нашем случае ||А|| = 0,61 и || В|| = 2,15. Подставляем эти числа, получается неравенство 0,61ⁿ⁺¹*2,15 / 0,39  0,0001. Решая его, находим, что n+1  22,087, то есть 22-ая итерация даст нам решение с за­данной точностью.

Расчеты будем проводить с пятью цифрами после запятой (одна цифра запасная). Полученные итерации сведем в таблицу.

№	X1	X2	X3	X4
0	2,15	-0,83	1,16	0,44
1	2,97190	-1,07750	1,50930	-0,43260
2	3,35551	-1,07214	1,50747	-0,73168
3	3,50173	-1,01063	1,50146	-0,81105
4	3,55113	-0,97826	1,49441	-0,83214
5	3,56623	-0,96440	1,49097	-0,83640
6	3,57033	-0,95931	1,48959	-0,83684
7	3,57127	-0,95763	1,48910	-0,83667
8	3,57142	-0,95713	1,48895	-0,83652
9	3,57142	-0,95700	1,48890	-0,83644
10	3,57140	-0,95697	1,48889	-0,83641
11	3,57139	-0,95697	1,48889	-0,83640
12	3,57138	-0,95697	1,48889	-0,83640
13	3,57138	-0,95697	1,48889	-0,83640

После 12-ой итерации процесс приближения остановился.

РЕШЕНИЕ: х₁  3,5714; х₂  -0,9570; х₃  1,4889; х₄  -0,8364.