Метод простых итераций
Применение итерационных методов обычно состоит из двух этапов. Первый (предварительный) этап заключается в приведении системы (1) к следующему виду:
(4)
причем система (4) должна удовлетворять некоторым довольно жестким условиям, о которых будет сказано ниже. Вторым, этапом является собственно итерационный процесс, примененный к системе (4). Хотя любую систему вида (1) с условием D 0 в принципе можно привести к требуемому виду (4), на практике это зачастую очень трудно осуществить. Существует много методов приведения системы к виду (4), применимых в различных частных случаях систем (1), но универсального метода нет. В данной лабораторной работе мы рассмотрим наиболее простой из итерационных методов - метод простых итераций - в предположении, что система уже приведена к виду (4).
Запишем систему (4) в матричном, виде:
(5) X = AX + В .
(Здесь и далее матрицу А, векторы X, В и другие будем писать большими жирными буквами.) Обозначим через X0 начальное приближение, через Хn - соответственно n-ое приближение. n-ая итерация заключается в подстановке вектора Х n - 1 в правую часть (5). Результатом подстановки будет вектор Xn . Таким образом, у нас получается последовательность векторов X0 , Х1 , X2,... - последовательных приближений. Об итерационном процессе известно следующее:
1. Если последовательность векторов Xn сходится к какому - либо вектору, то она сходится именно к точному решений системы (4). В этом случае итерационный процесс называется сходящимся.
2. Итерационный процесс сходится, если |А| < 1, где |А| - норма матрицы А. Это и есть то условие, которому должна удовлетворять система (4).
3
.
Если
|А|
< 1, то в качестве начального приближения
можно взять любой
вектор.
Например, можно взять Х0
= В.
4. Для нормы |А| справедливы следующие оценки:
Таким образом, чтобы процесс сходился, достаточно, чтобы хотя бы одна из оценок ||А||1, ||А||2 или ||А||3 была меньше единицы.
5. Если Х - точное решение, а X0 = В, то имеет место формула
(6)
где ||B||1 - максимум модулей координат вектора В, a ||X - X0||1 - соответственно погрешность n - го приближения. Аналогичные формулы можно было бы написать для ||A||1, ||A||2 и ||A||3. С помощью формулы (6) получают оценку числа итераций, достаточного для нахождения решения с заданной погрешностью.
Более детально познакомиться с выполнением рассмотренных методов можно будет на конкретных примерах решения заданий лабораторной работы.
Задания к лабораторной работе №3
Задание 1.
Дана система линейных уравнений вида (1) четвертого порядка (все коэффициенты точные числа). Требуется:
1) Решить систему методом Гаусса вручную с точностью =0,001; определить невязки полученного решения;
2) Решить эту же систему с помощью ЗВМ;
3) Считая решение, полученное с помощью ЭВМ, достаточно точным, оценить погрешность решения, полученного вручную;
4) С помощью ЭВМ исследовать два коэффициента и один свободный член системы на устойчивость решения. (Коэффициенты и свободный член выбрать самостоятельно).
Коэффициенты и свободные члены системы взять из таблицы соответственно номеру варианта.
1 |
4,4 |
-2,5 |
19,2 |
-10,8 |
4,3 |
2 |
8,2 |
-3,2 |
14,2 |
14,8 |
-8,4 |
|
5,5 |
-9,3 |
-14,2 |
13,2 |
6,8 |
|
5,6 |
-12 |
15 |
-6,4 |
4,5 |
|
7,1 |
-11,5 |
5,3 |
-6,7 |
-1,8 |
|
5,7 |
3,6 |
-12,4 |
-2,3 |
3,3 |
|
14,2
|
23,4
|
-8,8 |
5,3 |
7,2 |
|
6,8 |
13,2 |
-6,3 |
-8,7 |
14,3 |
3 |
5,7 |
-7,8 |
-5,6 |
-8,3 |
2,7 |
4 |
3,8 |
14,2 |
6,3 |
-15,5 |
2,8 |
|
6,6 |
13,1 |
-6,3 |
4,3 |
-5,5 |
|
8,3 |
-6,6 |
5,8 |
12,2 |
-4,7 |
|
14,7 |
-2,8 |
5,6 |
-12,1 |
8,6 |
|
6,4 |
-8,5 |
-4,3 |
8,8 |
7,7 |
|
8,5 |
12,7 |
-23,7 |
5,7 |
14,7 |
|
17,1 |
-8,3 |
14,4 |
-7,2 |
13,5 |
5 |
15,7 |
6,6 |
-5,7 |
11,5 |
-2,4
|
6 |
4,3 |
-12,1 |
23,2 |
-14,1 |
15,5 |
|
8,8 |
-6,7 |
5,5 |
-4,5 |
5,6 |
|
2,4 |
-4,4 |
3,5 |
5,5 |
2,5 |
|
6,3 |
-5,7 |
-23,4 |
6,6 |
7,7 |
|
5,4 |
8,3 |
-7,4
|
-12,7 |
8,6 |
|
14,3 |
8,7 |
-15,7 |
-5,8 |
23,4 |
|
6,3 |
-7,6 |
1,34
|
3,7 |
12,1 |
7 |
14,4 |
-5,3 |
14,3 |
-12,7 |
-14,4 |
8 |
1,7 |
10 |
-1,3 |
2,1 |
3,1 |
|
23,4 |
-14,2 |
-5,4 |
2,1 |
6,6 |
|
3,1 |
1,7 |
-2,1 |
5,4 |
2,1 |
|
6,3 |
-13,2 |
-6,5 |
14,3 |
9,4 |
|
3,3 |
-7,7 |
4,4 |
-5,1 |
1,9 |
|
5,6 |
8,8 |
-6,7 |
-23,8 |
7,3 |
|
10 |
-20,1 |
20,4 |
1,7 |
1,8 |
9 |
1,7 |
-1,8 |
1,9 |
-57,4 |
10 |
10 |
6,1 |
6,2 |
-6,3 |
6,4 |
6,5 |
|
1,1 |
-4,3 |
1,5 |
-1,7 |
19 |
|
1,1 |
-1,5 |
2,2 |
-3,8 |
4,2 |
|
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
20 |
|
5,1 |
-5,0 |
4,9 |
-4,8 |
4,7 |
|
7,1 |
-1,3 |
-4,1 |
5,2 |
10 |
|
1,8 |
1,9 |
2,0 |
-2,1 |
2,2 |
11 |
2,2 |
-3,1 |
4,2 |
-5,1 |
6,01 |
12 |
35,8 |
2,1 |
-34,5 |
-11,8 |
0,5 |
|
1,3 |
2,2 |
-1,4 |
1,5 |
10 |
|
27,1
|
-7,5 |
11,7 |
-23,5 |
12,8 |
|
6,2 |
-7,4 |
8,5 |
-9,6 |
1,1 |
|
11,7
|
1,8 |
-6,5 |
7,1 |
1,7 |
|
1,2 |
1,3 |
1,4 |
4,5 |
1,6 |
|
6,3
|
10 |
7,1 |
3,4 |
20,8 |
13 |
35,1 |
1,7 |
37,5 |
-2,8 |
7,5 |
14 |
1,1 |
11,2 |
11,1 |
-13,1 |
1,3 |
|
45,2 |
21,1 |
-1,1 |
-1,2 |
11,1 |
|
-3,3 |
1,1 |
30,1 |
-20,1 |
1,1 |
|
-21,1 |
31,7 |
1,2 |
-1,5 |
2,1 |
|
7,5 |
1,3 |
1,1 |
10 |
20 |
|
31,7 |
18,1 |
-31,7 |
2,2 |
0,5 |
|
1,7 |
7,5 |
-1,8 |
2,1 |
1,1 |
15 |
7,5 |
1,8 |
-2,1 |
-7,7 |
1,1 |
16 |
30,1 |
-1,4 |
10 |
-1,5 |
10 |
|
-10 |
1,3 |
-20 |
-1,4 |
1,5 |
|
-17,5 |
11,1 |
1,3 |
-7,5 |
1,3 |
|
2,8 |
-1,7 |
3,9 |
4,8 |
1,2 |
|
1,7 |
-21,1 |
7,1 |
-17,1 |
10 |
|
10 |
31,4 |
-2,1 |
-10 |
-1,1 |
|
2,1 |
2,1 |
3,5 |
3,3 |
1,7 |
17 |
7,3 |
-8,1 |
12,7 |
-6,7 |
8,8 |
18 |
4,8 |
12,5 |
-6,3 |
-9,7 |
3,5 |
|
11,5 |
6,2 |
-8,3 |
9,2 |
21,5 |
|
22 |
-31,7 |
12,4 |
-8,7 |
4,6 |
|
8,2 |
-5,4 |
4,3 |
-2,5 |
6,2 |
|
15 |
21,1 |
-4,5 |
14,4 |
15 |
|
2,4 |
11,5 |
-3,3 |
14,2 |
-6,2 |
|
8,6 |
-14,4 |
6,2 |
2,8 |
-1,2 |
19 |
6,4 |
7,2 |
-8,3 |
42 |
2,23 |
20 |
14,2 |
3,2 |
-4,2 |
8,5 |
13,2 |
|
5,8 |
-8,3 |
14,3 |
-6,2 |
17,1 |
|
6,3 |
-4,3 |
12,7 |
-5,8 |
-4,4 |
|
8,6 |
7,7 |
-18,3 |
8,8 |
-5,4 |
|
8,4 |
-22,3 |
-5,2 |
4,7 |
6,4 |
|
13,2 |
-5,2 |
-6,5 |
12,2 |
6,5 |
|
2,7 |
13,7 |
6,4 |
12,7 |
8,5 |
21 |
7,3 |
12,4 |
-3,8 |
-14,3 |
5,8 |
22 |
13,2 |
-8,3 |
-4,4 |
6,2 |
6,8 |
|
10,7 |
-7,7 |
12,5 |
6,6 |
-6,6 |
|
8,3 |
4,2 |
-5,6 |
7,7 |
12,4 |
|
15,6 |
6,6 |
14,4 |
-8,7 |
12,4 |
|
5,8 |
-3,7 |
12,4 |
-6,2 |
8,7 |
|
7,5 |
12,2 |
-8,3 |
3,7 |
9,2 |
|
3,5 |
6,6 |
-13,8 |
-9,3 |
-10,8 |
23 |
8,1 |
1,2 |
-9,1 |
1,7 |
10 |
24 |
3,3 |
-2,2 |
-10 |
1,7 |
1,1 |
|
1,1 |
-1,7 |
7,2 |
-3,4 |
1,7 |
|
1,8 |
21,1 |
1,3 |
-2,2 |
2,2 |
|
1,7 |
-1,8 |
10 |
2,3 |
2,1 |
|
-10 |
1,1 |
20 |
-4,5 |
10 |
|
1,3 |
1,7 |
-9,9 |
3,5 |
27,1 |
|
70 |
-1,7 |
-2,2 |
3,3 |
2,1 |
25 |
1,7 |
9,9 |
-20 |
-1,7 |
1,7 |
26 |
1,7 |
-1,3 |
-1,1 |
-1,2 |
2,2 |
|
20 |
0,5 |
-30,1 |
-1,1 |
2,1 |
|
10 |
-10 |
-1,3 |
1,3 |
1,1 |
|
10 |
-20 |
30,2 |
0,5 |
1,8 |
|
3,5 |
3,3
|
1,2 |
1,3 |
1,2 |
|
3,3 |
-0,7 |
3,3 |
20 |
-1,7 |
|
1,3 |
1,1 |
-1,3 |
-1,1 |
10 |
27 |
1,1 |
11,3 |
-1,7 |
1,8 |
10 |
28 |
1,4 |
2,1 |
-3,3 |
1,1 |
10 |
|
1,3 |
-11,7 |
1,8 |
1,4 |
1,3 |
|
10 |
-1,7 |
1,1 |
-1,5 |
1,7 |
|
1,1 |
-10,5 |
-1,7 |
-1,5 |
1,1 |
|
2,2 |
34,4 |
-1,1 |
-1,2 |
20 |
|
1,5 |
-0,5 |
1,8 |
-1,1 |
10 |
|
1,1 |
1,3 |
1,2 |
1,4 |
1,3 |
29 |
1,3 |
-1,7 |
3,3 |
1,7 |
1,1 |
30 |
1,2 |
1,8 |
-2,2 |
-4,1 |
1,3 |
|
10 |
5,5 |
-1,3 |
3,4 |
1,3 |
|
10 |
-5,1 |
1,2 |
5,5 |
1,2 |
|
1,1 |
1,8 |
-2,2 |
-1,1 |
10 |
|
2,2 |
-30,1 |
3,1 |
5,8 |
10 |
|
1,3 |
-1,2 |
2,1 |
2,2 |
1,8 |
|
10 |
2,4 |
-30,5 |
-2,2 |
34,1 |
Задание 2.
Решить систему линейных уравнений вида (4) методом простых итераций с точностью до 0,0001, предварительно оценив число достаточных для этого итераций. Коэффициенты и свободные члены системы взять из таблицы соответственно номеру варианта.
1 |
0,23 |
-0,04 |
0,21 |
-0,18 |
1,24 |
2 |
0,21 |
0,12 |
-0,34 |
-0,16 |
-0,64 |
|
0,45 |
-0,23 |
0,06 |
0 |
-0,88 |
|
0,34 |
-0,08 |
0,17 |
-0,18 |
1,42 |
|
0,26 |
0,34 |
-0,11 |
0 |
0,62 |
|
0,16 |
0,34 |
0,15 |
-0,31 |
-0,42 |
|
0,05 |
-0,26 |
0,34 |
-0,12 |
-1,17 |
|
0,12 |
-0,26 |
-0,08 |
0,25 |
0,83 |
3 |
0,32 |
-0,18 |
0,02 |
0,21 |
1,83 |
4
|
0,42 |
-0,32 |
0,03 |
0 |
0,44 |
|
0,16 |
0,12 |
-0,14 |
0,27 |
-0,65 |
|
0,11 |
-0,26 |
-0,36 |
0 |
1,42 |
|
0,37 |
0,27 |
-0,02 |
-0,24 |
2,23 |
|
0,12 |
0,08 |
-0,14 |
-0,24 |
0,83 |
|
0,12 |
0,21 |
-0,18 |
0,25 |
-1,13 |
|
0,15 |
-0,35 |
-0,18 |
0 |
-1,42 |
5 |
0,18 |
-0,34
|
-0,12 |
0,15 |
-1,33 |
6 |
0,13 |
0,23 |
-0,44 |
-0,05 |
2,13 |
|
0,11 |
0,23 |
-0,15 |
0,32 |
0,84 |
|
0,24 |
0 |
-0,31 |
0,15 |
-0,18 |
|
0,05 |
-0,12 |
0,14 |
-0,18 |
-1,16 |
|
0,06 |
0,15 |
0 |
-0,23 |
1,44 |
|
0,12 |
0,08 |
0,06 |
0 |
0,57 |
|
0,72 |
-0,08 |
-0,05 |
0 |
2,42 |
7 |
0,17 |
0,31 |
-0,18 |
0,22 |
-1,71 |
8 |
0,13 |
0,27 |
-0,22 |
-0,18 |
1,21 |
|
0,21 |
0 |
0,33 |
0,22 |
0,62 |
|
-0,21 |
0 |
-0,45 |
0,18 |
-0,33 |
|
0,32 |
-0,18 |
0,05 |
-0,19 |
-0,89 |
|
0,12 |
0,13 |
-0,33 |
0,18 |
-0,48 |
|
0,12 |
0,28 |
-0,14 |
0 |
0,94 |
|
0,33 |
-0,05 |
0,06 |
-0,28 |
-0,17 |
9 |
0,19 |
-0,07 |
0,38 |
-0,21 |
-0,81 |
10 |
0 |
0,22 |
-0,11 |
0,31 |
2,7 |
|
-0,22 |
0,08 |
0,11 |
0,33 |
-0,64 |
|
0,38 |
0 |
-0,12 |
0,22 |
-1,5 |
|
0,51 |
-0,07 |
0,09 |
-0,11 |
1,71 |
|
0,11 |
0,23 |
0 |
-0,51 |
1,2 |
|
0,33 |
-0,41 |
0 |
0 |
-1,21 |
|
0,17 |
-0,21 |
0,31 |
0 |
-0,17 |
11 |
0,07 |
-0,08 |
0,11 |
-0,18 |
-0,51 |
12 |
0,05 |
-0,06 |
-0,12 |
0,14 |
-2,17 |
|
0,18 |
0,52 |
0 |
0,21 |
1,17 |
|
0,04 |
-0,12 |
0,08 |
0,11 |
1,4 |
|
0,13 |
0,31 |
0 |
-0,21 |
-1,02 |
|
0,34 |
0,08 |
-0,06 |
0,14 |
-2,1 |
|
0,08 |
0 |
-0,33 |
0,28 |
-0,28 |
|
0,11 |
0,12 |
0 |
-0,03 |
-0,8 |
13 |
0,08 |
-0,03 |
0 |
-0,04 |
-1,2 |
14 |
0,12 |
-0,23 |
0,25 |
-0,16 |
1,24 |
|
0 |
0,31 |
0,27 |
-0,08 |
0,81 |
|
0,14 |
0,34 |
-0,18 |
0,24 |
-0,89 |
|
0,33 |
0 |
-0,07 |
0,21 |
-0,92 |
|
0,33 |
0,03 |
0,16 |
-0,32 |
1,15 |
|
0,11 |
0 |
0,03 |
0,58 |
0,17 |
|
0,12 |
-0,05 |
0 |
0,15 |
-0,57 |
15 |
0,23 |
-0,14 |
0,06 |
-0,12 |
1,21 |
16 |
0,14 |
0,23 |
0,18 |
0,17 |
-1,42 |
|
0,12 |
0 |
0,32 |
-0,18 |
-0,72 |
|
0,12 |
-0,14 |
0,08 |
0,09 |
-0,83 |
|
0,08 |
-0,12 |
0,23 |
0,32 |
-0,58 |
|
0,16 |
0,24 |
0
|
-0,35 |
1,21 |
|
0,25 |
0,22 |
0,14 |
0 |
1,56 |
|
0,23 |
-0,08 |
0,05 |
0,25 |
0,65 |
17 |
0,24 |
0,21 |
0,06 |
-0,34 |
1,42 |
18 |
0,17 |
0,27 |
-0,13 |
-0,11 |
-1,42 |
|
0,05 |
0 |
0,32 |
0,12 |
-0,57
|
|
0,13 |
-0,12 |
0,09 |
-0,06 |
0,48 |
|
0,35 |
-0,27 |
0 |
-0,05 |
0,68 |
|
0,11 |
0,05 |
-0,02 |
0,12 |
-2,34 |
|
0,12 |
-0,43 |
0,04 |
-0,21 |
-2,14 |
|
0,13
|
0,18 |
0,24 |
0,43 |
0,72 |
19 |
0,15 |
0,05 |
-0,08 |
0,14 |
-0,48 |
20 |
0 |
0,28 |
-0,17 |
0,06 |
0,21 |
|
0,32 |
-0,13 |
-0,12 |
0,11 |
1,24 |
|
0,52 |
0 |
0,12 |
0,17 |
-1,17 |
|
0,17 |
0,06 |
-0,08 |
0,12 |
1,15 |
|
0,17 |
-0,18 |
0,21 |
0 |
0,81 |
|
0,21 |
-0,16 |
0,36 |
0 |
-0,88 |
|
0,11 |
0,22 |
0,03 |
0,05 |
0,72 |
21 |
0 |
0,52 |
0,08 |
0,13 |
-0,22 |
22 |
0,01 |
0,02 |
-0,62 |
0,08 |
-1,3 |
|
0,07 |
-0,38 |
-0,05 |
0,41 |
1,8 |
|
0,03 |
0,28 |
0,33 |
-0,07 |
1,1 |
|
0,04 |
0,42 |
0,11 |
-0,07 |
-1,3 |
|
0,09 |
0,13 |
0,42 |
0,28 |
-1,7 |
|
0,17 |
0,18 |
-0,13 |
0,19 |
0,33 |
|
0,19 |
-0,23 |
0,08 |
0,37 |
1,5 |
23 |
0 |
0,17 |
-0,33 |
0,18 |
-1,2 |
24 |
0,03 |
-0,05 |
0,22 |
-0,33 |
0,43 |
|
0 |
0,18 |
0,43 |
-0,08 |
0,33 |
|
0,22 |
0,55 |
-0,08 |
0,07 |
-1,8 |
|
0,22 |
0,18 |
0,21 |
0,07 |
0,48 |
|
0,33 |
0,13 |
-0,08 |
-0,05 |
-0,8 |
|
0,08 |
0,07 |
0,21 |
0,04 |
-1,2 |
|
0,08 |
0,17 |
0,29 |
0,33 |
1,7 |
25 |
0,13 |
0,22 |
-0,33 |
0,07 |
0,11 |
26 |
0,32 |
-0,16 |
-0,08 |
0,15 |
2,42 |
|
0 |
0,45 |
-0,23 |
0,07 |
-0,33 |
|
0,16 |
-0,23 |
0,11 |
-0,21 |
1,43 |
|
0,11 |
0 |
-0,08 |
0,18 |
0,85 |
|
0,05 |
-0,08 |
0 |
0,34 |
-0,16 |
|
0,08 |
0,09 |
0,33 |
0,21 |
-1,7 |
|
0,12 |
0,14 |
-0,18 |
0,06 |
1,62 |
27 |
0 |
0,08 |
-0,23 |
0,32 |
1,34 |
28 |
0,06 |
0,18 |
0,33 |
0,16 |
2,43 |
|
0,16 |
-0,23 |
0,18 |
0,16 |
-2,33 |
|
0,32 |
0 |
0,23 |
-0,05 |
-1,12 |
|
0,15 |
0,12 |
0,32 |
-0,18 |
0,34 |
|
0,16 |
-0,08 |
0 |
-0,12 |
0,43 |
|
0,25 |
0,21 |
-0,16 |
0,03 |
0,63 |
|
0,09 |
0,22 |
-0,13 |
0 |
0,83 |
29 |
0 |
0,34 |
0,23 |
-0,06 |
1,42 |
30 |
0,32 |
-0,23 |
0,11 |
-0,06 |
0,67 |
|
0,11 |
-0,23 |
-0,18 |
0,36 |
-0,66 |
|
0,18 |
0,12 |
-0,33 |
0 |
-0,88 |
|
0,23 |
-0,12 |
0,16 |
-0,35 |
1,08 |
|
0,12 |
0,32 |
-0,05 |
0,07 |
-0,18 |
|
0,12 |
0,12 |
-0,47 |
0,18 |
1,72 |
|
0,05 |
-0,11 |
0,09 |
-0,12 |
1,44 |