Решение системы линейных уравнений краткая теоретическая справка о сновные понятия

1. Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Если определитель системы D  0, то она имеет ровно одно точное решение. Далее мы будем рассматривать только такие системы.

2. Точным решением системы (1) называется набор чисел (x₁, x₂, ... , х_n), при подстановке которых в систему все уравнения (1) превращаются в тождества.

3. На практике часто в процессе нахождения корней системы приходится произво­дить округления, в связи с чем решение получается лишь приближенным. Имеется

два критерия близости приближенного решения к точному :

а) набор чисел (x*₁, x*₂, ... , х*_n) называется приближенным решением системы (1), если все числа х*_k близки к соответствующим числам x_k точного решения, т.е. все погрешности x_k = |х*_k - х_k| достаточно малы;

б) Набор чисел (x*₁, x*₂, ... , х*_n) называется приближенным решением системы (1), если при их подстановке в систему все уравнения (1) обращаются в приближенные равенства, т.е. все величины r_k = А_k1х*₁ + А_k2Х*₂ + ... + А_knх*_n - В_k, именуемые невязками, достаточно близки к нулю по модулю.

4. В связи с приближенностью вычислений равенство D = 0, когда оно имеет место, не всегда удается получить. Приближенное равенство D  0 означает, что малые погрешности в вычислениях могут (но необязательно) привести к большим погреш­ностям в решении, т.е. задача решения системы, либо метод ее решения могут оказаться неустойчивыми. Системы, чувствительные к погрешностям вычислений, называются плохо обусловленными.

Методы решения систем линейных уравнений

Методы решения систем линейных уравнений делятся на прямые и итерационные.

5. Прямые методы указывают конечный процесс или даже явные формулы (как в мето­де Крамера) нахождения точного решения. Поэтому прямые методы являются точны­ми. Однако, точное решение можно получить лишь при наличии точных исходных данных и проведении абсолютно точных, без округлений вычислений. Прямые мето­ды сравнительно просты и более универсальны, чем итерационные. В то же время для прямых методов характерно накопление ошибок в процессе вычислений. Поэтому прямые методы не используются для больших или плохо обусловленных систем.

6. Итерационные методы задают бесконечный процесс последовательного нахождения приближенных решений, все более и более близко подходящих к точному решению. Бесконечный процесс обрывают по достижении приближенного решения с требуемой точностью. Цикл вычислений, приводящий к очередному приближенному решению, называется итерацией. Для проведения первой итерации требуется задать некоторое приближенное решение, называемое начальным приближением. Решение, получаемое в результате первой итерации, называется первым приближением, в результате вто­рой итерации - вторым приближением и т.д.

Погрешности округлений в процессе вычислений итерационными методами практи­чески не накапливаются. Ошибки округлений, накапливающиеся в процессе k-ой итерации, отражаются в k-ом приближении. Следующая (k+1)-ая итерация, находя более точное (k+1)-oe приближение, компенсирует тем самым ошибки, накопленные k-ой итерацией. То есть, параллельно процессу накопления ошибок в одной итера­ции идет обратный процесс самоисправления ошибок предыдущих итераций. Поэтому итерационные методы предпочтительны при решении плохо обусловленных систем.

Недостаткам итерационных методов является их не универсальность. Кроме того, иногда итерационный процесс слишком медленно приближается к точному решению.

При решении систем возможны комбинации прямых и итерационных методов. Напри­мер, можно сначала применить к системе прямой метод, а затем полученное им не­точное решение взять в качестве начального приближения и уточнить итерационным методом.