3.2 Вклад а. Риттера

В 1862 г. вышла книга Августа Риттера [7], в которой был впервые изложен метод сечений или моментных точек. В отличие от метода вырезания узлов этот метод позволял (для ферм, образованных из треугольников) непосредственно вычислить усилие в любом стержне вне зависимости от прочих и без решения совместных уравнений. Этим резко снижалась трудоемкость расчета. По существу, это был первый действительно удобный и общедоступный способ расчета ферм. Кроме того, его важным достоинством является возможность представления усилия в любом стержне стандартным выражением , где M- момент внешних сил относительно моментной точки, а r – плечо стержня относительно той же точки. Такое представление объясняет характер работы каждого стержня и его роли в работе всей фермы. Впоследствии оно сильно упростило задачу построения линий влияния для стержневой системы. Метод сечений приобрел популярность среди инженеров-проектировщиков.

3.3 Работы Дж. К. Максвелла и его «дублеров»

Дж. К. Максвелл в 1864 г. публикует знаменитый графический метод, который через 8 лет независимо от него был открыт итальянцем Л. Кремоной (1872 г.). В последствии метод назван диаграммой Кремоны-Максвелла. Открытый Дж. К. Максвеллом способ вычисления перемещения ферм был заново открыт в более общем виде Мором и известен под названием формулы Мора-Максвелла или просто формулы Мора [12]. Открытый Дж. К. Максвеллом закон взаимности перемещений стал известен только после того, как Э. Бетти доказал более общую теорему о взаимности работ (1872 г.) [11]. Причиной того, что работы Дж. К. Максвелла не были известны долго время, является, вероятнее всего то, что они сильно выделялись над общим слабым уровнем работ по строительной механике и не были поняты в Англии, а также не привлекли внимания на континенте, где от английской литературы не ожидали особых открытий.

Рассмотрим более подробно метод расчета статически неопределимых ферм, предложенный Дж. К. Максвеллом. Его особенностью было представлений уравнений деформации в канонической форме и указание общего метода вычисления перемещений, которые являются коэффициентами в этих уравнениях. В настоящее время под каноническими уравнениями метода сил понимают систему уравнений вида:

…………………………………………………

(5)

выражающих условия отсутствия перемещений по направлениям лишних связей в n-кратно статически неопределимой системе.

Здесь – неизвестные усилия в лишних связях; – перемещение по направлению связи I от единичной силы в связи k; – перемещение от внешней нагрузки по направлению связи i.

В 1864 г. Дж. К. Максвелл составляет канонические уравнения для статически неопределимых ферм в развернутом виде, т. е. с готовыми выражениями коэффициентов. В подлинных обозначениях они примут вид:

(6)

Здесь P – нагрузка, R, S, T,…- усилия в лишних связях;

r, s, t,…, p – усилия в стержнях от единичных сил R=1, S=1, T=1,…, P=1;

e – удлинение стержней от единичного в них усилия.

В переводе на обычные обозначения:

а, следовательно, коэффициенты уравнений Дж. К. Максвелла могут быть выражены следующим образом:

и т. д.

(7)

Таким образом, Дж. К. Максвелл сумел дать простой способ вычисления перемещений для ферм. Из этого способа сразу вытекает теорема о взаимности перемещений:

(8)

Работы Дж. К. Максвелла и его «дублеров» завершили поиски удобных методов расчетов ферм как статически определимых, так и неопределимых.