1 Простая балочная ферма

На рис. 10 представлена плоская статически определимая балочная ферма с произвольным числом панелей n. Здесь введены обозначения Р – нагрузка, – прогиб. Стержни фермы предполагаем упругими (модуль упругости Е). Стоит задача получения аналитического выражения для прогиба фермы в зависимости от числа панелей и местоположения нагружения.

Рис. 10 - Простая балочная ферма c четырьмя панелями (n = 4, j = 2)

1.1 Расчет простой балочной фермы

Для определения прогибов стержневой системы требуется найти усилия во всех стержнях. Задача определения усилий в стержнях фермы сводится к решению системы линейных уравнений, которую можно записать в матричной форме:

.

Здесь – вектор неизвестных усилий длиной , где число стержней, – вектор нагрузок, – матрица направляющих косинусов. Горизонтальные нагрузки, приложенные к узлу , записываются в нечетные элементы , вертикальные – в четные . Решение находим с помощью обратной матрицы:

. (9)

Этот метод хорошо реализуется в системе компьютерной математики Maple [6, 7]. В поставленной задаче таких нагрузок две: первая – это внешняя вертикальная нагрузка, приложенная поочередно к каждому узлу нижнего пояса фермы, начиная со второго до центрального; вторая – единичная вертикальная нагрузка в центральном узле нижнего пояса, где определяется прогиб. В первый узел нагрузка не прикладывается, так как находится в шарнирном закреплении.

Введем обозначение для усилий в стержнях фермы. Усилия от внешней нагрузки обозначим усилия от единичной вертикальной нагрузки в центральном узле . Прогиб определяется по формуле Максвелла – Мора [17]:

В первом приближении жесткости всех стержней приняты одинаковыми. Так же для упрощения выражений введено следующее обозначение , где и — геометрические параметры фермы, длина панели и высота соответственно. Применим метод индукции и последовательно решим в символьной форме поставленную задачу для фермы с 1, 2, 3 и т. д. панелями. Для каждого варианта определим прогиб при нагрузке, приложенной поочередно в каждый узел нижнего пояса. Сначала найдем последовательности целочисленных коэффициентов перед соответствующими выражениями, а затем и их общие члены при и , где номер нагруженного узла. Однородные рекуррентные уравнения получены с помощью оператора rgf_findrecur, входящего в состав пакета genfunc системы компьютерной математики Maple [6, 7]. Решение уравнения дает оператор rsolve. Имея аналитические выражения для прогибов во всех стержнях статически определимой фермы, можно определить прогиб фермы как функцию ее геометрических параметров, числа панелей и номера узла, к которому приложена нагрузка.

Рис. 11 - Номера стержней и узлов фермы при n = 4, j = 3

На рис. 11 представлены номера стержней и узлов фермы при n = 4, j = 3. Ферма данного типа состоит из панелей; нижнего пояса, включающего в себя горизонтальных стержней длиной , верхнего пояса из горизонтальных стержней длиной и раскосов из наклонных стержней длиной и вертикальных стержней длиной . Таким образом, в рассматриваемой ферме стержней, включая три опорных, моделирующих шарнирные опоры, и узлов, дающих уравнений равновесия.

Пронумеруем шарниры фермы (нижний пояс слева направо, затем верхний пояс (рис. 11). Выбирая начало координат в левой неподвижной шарнирной опоре, зададим координаты шарниров (где половина длины одной панели, высота панели):

Стержни решетки фермы зададим условными векторами , , координатами которых являются номера шарниров по их концам. Шарнирные опоры смоделируем в виде двух стержней в неподвижной шарнирной опоре и одного вертикального в подвижной. Отметим, что направления этих векторов просто определяют структуру соединений стержней в ферме и никак не связаны со знаками усилий в стержнях.

Для стержней имеем следующие векторы:

Горизонтальные:

Наклонные:

Вертикальные стержни:

Опоры:

Длины стержней и проекции их векторных представлений на оси координат:

.

Первый индекс в номере означает номер компоненты вектора , второй – номер стержня.

Матрица направляющих косинусов имеет следующие элементы:

где матрица направляющих косинусов, вспомогательная переменная, приводящая к тому, что усилия опорных стержней появляются в уравнениях только один раз. Решив систему (1) для вертикальной единичной силы, приложенной поочередно к каждому узлу нижнего пояса, получим выражения следующего вида:

(10)

Где величина нагрузки, элементы массива, содержащего коэффициенты перед соответствующими геометрическими параметрами для каждого вычисления, номер узла, к которому была приложена нагрузка в данном расчетном случае, число панелей, при котором получено это значение. Стоит отметить данный тип ферм имеет разную структуру при четном и нечетном n, а именно отличается форма центрального узла. Как следствие, при нагружении в «центре» коэффициент перед при четном числе панелей принимает значение равное трем, в остальных случаях равен единице.

Приведем пример зависимостей, полученных с помощью оператора rgf_findrecur [6,7] системы Maple для прогиба от номера нагруженного узла.

Ферма с 9 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

(11)

Ферма с 11 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

(12)

Ферма с 13 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

.

(13)

Продолжая далее до n = 23, находим зависимость. Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод о том, что в формулах для прогиба с разным числом панелей n меняется только коэффициент при : 244 364 508….2188. Выписав последовательность этих коэффициентов, и найдя для них рекуррентное уравнение при помощи операторов rgf_findrecur, rsolve, получена формула (14):

,

(14)

где выражение, удовлетворяющее коэффициенту при j в формулах (3).

Далее введем замену, чтобы перейти от к , от к и т. д. соответственно. Для этого сделаем замену .

.

(15)

Подставив (15) в (12), получена формула:

.

(16)

Формула (16) может быть использована для вычисления прогиба центрального узла данной балочной фермы для любого нечетного n и нагрузке, приложенной к любому из узлов нижнего пояса.

Для того чтобы избавится от ограничения по четности, методом, описанным выше, получена формула прогиба центрального узла от числа панелей при нагрузке, приложенной в «центр»:

.

(17)

Стоит заметить, что если в (16) подставить , т. к. это значение соответствует центральному узлу, то получится выражение, отличное от (17) только коэффициентом при b.

Система компьютерной математики Maple [6, 7] при помощи функции piecewise [6, 7] позволяет записать неэлементарную функцию, отвечающую наложенным условиям вида:

(18)