Лабораторная работа №4 корни многочленов, кратные множители

Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).

Пример 1. f(x)=x⁵+2x³3x.

Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=1⁵+2∙1³3∙1=0, а f(2)=2⁵+2∙2³3∙2=42≠0.

Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.

Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на хс.

Определение 2. Если с  корень многочлена f(х), то f(х) делится на хс. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (хс)^k, но не делится на (хс)^k+1. Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с  k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.

Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:

Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f '(х).

Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.

Пример 2. Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х⁴4х³+16х16. Определить его кратность.

Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 2⁴4∙2³+16∙216=0.

f '(x)=4x³12x²+16, f '(2)=4∙2³12∙2²+16=0;

f ''(x)=12x²24x, f ''(2)=12∙2²24∙2=0;

f '''(x)=24x24, f '''(2)=24∙224≠0.

Число 2 впервые не является корнем f'''(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).

Пусть дан многочлен f(х) степени n≥1 со старшим коэффициентом 1: f(х)=хⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n и α₁,...,α_n – его корни. Корни многочлена и его коэффициенты связаны формулами, которые называют формулами Виета:

a₁= (α₁+...+α_n),

a₂=α₁α₂+...+α_n-1α_n,

a₃= (α₁α₂α₃+...+α_n-2α_n-1α_n),

...........................

a_n=(1)ⁿα₁α₂...α_n.

Формулы Виета облегчают написание многочлена по заданным его корням.

Пример 3. Найти многочлен, имеющий простые корни 2; 3 и двукратный корень –1.

Решение. Найдем коэффициенты многочлена:

а₁=– (2+3–1–1)=-3,

а₂=2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

а₃=– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7,

а₄=3·2·(–1)·(–1)=6.

Искомый многочлен есть х⁴–3х³–3х²–7х+6.

Определение 3. Многочлен f(х)Р[x] степени n приводим над полем Р, если он может быть разложен в произведение двух множителей φ(х) и ψ(х) из Р[x], степени которых меньше n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)P[x] называют неприводимым над полем Р, если в любом его разложении на множители из Р[x] один из множителей имеет степень 0, другой – степень n.

Имеют место следующие теоремы:

Всякий многочлен ненулевой степени f(х) из кольца Р[x] разлагается в произведение неприводимых множителей из Р[x] однозначно с точностью до множителей нулевой степени.

Отсюда легко следует, что для всякого многочлена f(х)Р[x] степени n, n≥1, существует следующее разложение на неприводимые множители:

, (2)

где  неприводимые многочлены из P[x] со старшими коэффициентами, равными единице. Такое разложение для многочлена однозначно.

Неприводимые множители, входящие в такое разложение, не обязаны быть все различными. Если неприводимый многочлен встречается ровно k раз в разложении (2), то он называется k-кратным множителем многочлена f(х).Если множитель Р(х) входит в это разложение только один раз, то он называется простым множителем для f(х).

Если в разложении (2) одинаковые множители собрать вместе, то это разложение можно записать в следующем виде:

, (3)

где множители Р₁(х),…,Р_r(x) уже все различные. Показатели k₁,…,k_r здесь равны кратностям соответствующих множителей. Разложение (3) можно записать в виде:

, (4)

где F₁(x) – произведение всех простых неприводимых множителей,  произведение всех двукратных неприводимых множителей и т.д. в разложении (3). Если в разложении (3) нет m-кратных множителей, то множитель считается равным единице.

Многочлены F₁(x),…,F_s(x) для многочлена f(x) над числовыми полями можно найти, пользуясь понятием производной, алгоритмом Евклида из формулированной ранее теоремы (о связи с производной) следующим образом:

Отсюда

Поэтому получаем

Таким образом, для многочлена f(x) мы можем найти множители .

Если для многочлена f(x) надо найти множители F₁(x),…,F_s(x) его разложения (4), то говорят, что надо отделить его кратные множители.

Пример 4. Отделить кратные множители f(x)=х⁵х⁴5х³+х²+8х+4.

Решение. Находим НОД f(x) и f '(x)=5x⁴4x³15x²+2x+8.

d₁(x)=[ f(x), f '(x)]=x³3x2.

Теперь находим d₂(x)=(d₁(x), d₁^'(x)).

d₂(x)=x+1.

Далее находим d₃(x)=(d₂(x), d₂^'(x)), d₂^'(x)=1,

d₃(x)=1.

Выражаем v₁(x), v₂(x), v₃(x).

(производим деление).

v₁(x)=x²x2.

(производим деление).

Поэтому получаем F₃(x)=v₃(x)=x+1,

Таким образом, многочлен f(x) имеет разложение f(x)=(х2)²(х+1)³. В разложении (3) многочлена f(x) простых множителей нет, двукратный множитель х2 и трехкратный множитель х+1.

Замечание 1. Этот способ ничего не дает в том случае, если все неприводимые множители многочлена f(x) простые (получим тождество f(x)=F₁(x)).

Замечание 2. Этот способ позволяет определить кратности всех корней произвольного многочлена.