ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Пермский государственный университет»

Кафедра алгебры и геометрии

Алгебра

Лабораторные работы №17

Издание 2-е, исправленное и дополненное

Пермь 2009

Составители: доц. Г.А. Маланьина, ст. преп. В.И. Хлебутина, ст. преп. Т.М.Коневских.

Алгебра: Лабораторные работы № 17 / сост. Г.А. Маланьина, В.И. Хлебутина, Т.М.Коневских; Перм. гос. ун-т; Изд. 2-е, испр. и доп. – ­Пермь, 2009. – 67 с.

В данном издании приводятся тексты лабораторных работ по ряду разделов алгебры, которые сопровождаются основными теоретическими сведениями и методическими указаниями.

Лабораторные работы 1-7 предназначены для студентов всех специальностей механико-математического факультета и могут быть использованы в качестве индивидуальных заданий.

Лабораторная работа № 1 решение систем линейных уравнений метод гаусса исключения неизвестных

Система линейных уравнений имеет вид

(1)

Здесь x₁,x₂,…,x_n – неизвестные, a_ij – коэффициенты при них, b_i – свободные члены, i,j=1,…, n.

Решением системы уравнений (1) называется упорядоченная совокупность чисел удовлетворяющая всем уравнениям системы, т.е. обращающая при замене неизвестных на соответствующие числа все уравнения в верные равенства.

Система (1) называется совместной, если имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй и наоборот. Для того чтобы две совместные системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы каждое уравнение первой системы было линейной комбинацией уравнений второй системы и обратно.

Рассмотрим следующие преобразования системы линейных уравнений:

1) перестановку двух уравнений системы;

2) умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Применяя к системе (1) преобразования 1), 2), 3), построим эквивалентную систему специального вида. Для этого возьмем в качестве первого уравнения одно из тех уравнений системы (1), где коэффициент при х₁ отличен от нуля. Далее будем умножать это уравнение последовательно на , i=2, i=3, …, i=s и прибавлять его почленно к соответствующим уравнениям системы (1).

В результате получаем систему

(2)

во всех уравнениях которой, начиная со второго, будет исключено неизвестное x₁. При этом может случиться, что вместе с x₁ будут исключены неизвестные x₂,…, x_k-1, но найдется уравнение, в котором сохранится x_k. Поставим его в качестве 2-го уравнения системы. Из всех оставшихся уравнений, кроме первых двух, исключим неизвестное x_k, для чего будем умножать второе уравнение на и прибавлять ко всем последующим, т. е. i=3, i=4, …, i=s. И так далее.

В результате такого последовательного исключения неизвестных в каком-нибудь уравнении системы все коэффициенты при неизвестных могут обратиться в нуль. Если при этом свободный член будет отличен от нуля, то полученная система несовместна, а значит, несовместна и эквивалентная ей система (1). Если же свободный член какого-нибудь уравнения обратится в нуль вместе со всеми коэффициентами при неизвестных в этом уравнении, то это уравнение из системы можно отбросить, так как оно не накладывает никаких ограничений на неизвестные.

Таким образом, после последовательного исключения неизвестных число уравнений в получающихся при этом системах может только уменьшиться.

В результате придем к системе одного из видов:

(3)

или

(4)

Система (3) называется системой треугольного вида и, очевидно, имеет единственное решение.

Система (4) называется системой трапециедального вида, она имеет бесконечно много решений. Действительно, если систему (4) переписать в виде

(5)

то, придавая неизвестным x_m+1,…,x_n произвольные значения, можно для каждого набора решить систему (5) и получить набор который будет являться решением системы (5) и, следовательно, (1).

При этом неизвестные x_m+1,…,x_n принято называть свободными, а x₁,x₂,…,x_m – основными неизвестными. Очевидно, легко выразить основные неизвестные через свободные, т. е. получить общий вид решения.

При практическом решении системы (1) все описанные преобразования удобно применять не к самой системе, а к матрице

,

составленной из коэффициентов при неизвестных в уравнениях системы, их свободных членов.

Пример 1. Решить систему

Решение. Составим и преобразуем матрицу

Первую строку первой матрицы умножаем на 2, 1, 1 и прибавляем ко второй, третьей и четвертой соответственно. При переходе от второй к третьей матрице первую строку оставляем неизменной, а вторую умножаем на (3) и прибавляем к четвертой.

Получили четвертое уравнение полученной системы противоречиво, поэтому система несовместна.

Пример 2. Решить систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем ее таким преобразованиям, чтобы она получила треугольный или трапециедальный вид

Восстановим систему линейных уравнений по последней матрице

Полученная система, эквивалентная данной, совместна. Найдем ее решения. Для этого перепишем ее в следующем виде:

Очевидно, если неизвестным x₂ и x₃ придавать любые значения, получим решение системы: x₂=c₁, x₃=c₂, тогда x₄=−1, x₁=c₁2c₂.

Таким образом, имеем общий вид решения: х₁=с₁2с₂, х₂=с₁, х₃=с₂, х₄= 1, где с₁, с₂ – любые числа.