5. Экстраполяционный переход к пределу

Чтобы найти более точное значение интеграла, можно воспользоваться сравнительно простым усовершенствовани­ем метода трапеций.

Вспомним (см. формулу (14)), что для шага h ошибка ограничения составляет е_T=Ch²

где

Если вторую производную от у считать постоянной, то C также является константой.

Предположим теперь, что выбрана некоторая другая величина шага разбиения , причем m ≠ n. Тогда е_T = Ck².

Теперь пусть I_h — значение интеграла, вычисленное по правилу трапеций с шагом h, а I_k — значение, вычислен­ное с шагом k. При этом

I = I_h + Сh² (16)

и

I = I_k + Ck².

Если вычесть эти два уравнения друг из друга, то можно определить С

(17)

Подставляя это значение C в (16), получаем

(18)

Вычисленное таким образом значение интеграла I являет­ся лучшим приближением, чем I_h или I_k. Если же вторая производная у" (х) действительно постоянна при a <= x <= b, то ошибка ограничения в формуле (18) равна нулю.

Этот метод называется экстраполяционным переходом к пределу; предложен он Ричардсоном².

6. Правило симпсона

В этом параграфе мы рассмотрим один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интег­рирования, а именно правило Симпсона. Этот метод анало­гичен правилу трапеций в той части, что интегрирование производится путем разбиения общего интервала интегри­рования на множество более мелких отрезков; однако теперь для вычисления площади над каждым из них через три после­довательных ординаты разбиения проводится квадратич­ная парабола. Можно было бы ожидать, что аналогично тому, как правило трапеций дает точный результат при интегрировании линейных функций, правило Симпсона даст точный результат при интегрировании многочленов второ­го порядка; в действительности же получается несколько парадоксальный результат: формула Симпсона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Поэтому при всей своей простоте этот метод весьма точен, хотя формула для числен­ного интегрирования получается ненамного сложней, чем для правила трапеций. Простота и точность правила Симп­сона сильно способствуют его широкому применению при вычислениях на ЭЦВМ.

Вспомним, что количество отрезков n в случае правила трапеций определялось формулой .

Предположим теперь, что число n является четным и что

(19)

Тогда

(20)

(21)

Уравнения (19), (20) и (21) можно подставить в (18). При этом получим

И окончательно

(22)

Формула (22) называется формулой Симпсона. Ее можно было вывести другим путем, а именно проводя параболу через три ординаты на концах двух соседних интервалов и потом складывая получившиеся при этом площади. Читатели могут проделать эти выкладки самостоятельно и геометрически истолковать разницу между формулами интегрирования.

Ошибка ограничения при интегрировании с помощью формулы Симпсона может быть вычислена таким же способом, как и для правила трапеций в разд. 3. Не воспроизводя здесь выкладки, приведем окончательный результат:

Заметим, что ошибка пропорциональна h⁴, в то время как для метода трапеций ошибка была пропорциональна h². Это означает, что метод Симпсона соответствует ряду Тейлора в формуле (7) с точностью до членов третьего порядка включительно, а метод трапеций соответствует этому ряду только с точностью до членов первого порядка. Поэтому при интегрировании многочленов степени не выше третьей метод Симпсона дает точные значения интеграла (так как f^IV(х) = 0).

Если предположить, что четвертая производная практи­чески постоянна, то снова можно применить экстраполяционный переход к пределу и улучшить результаты интегриро­вания по методу Симпсона. Вообще говоря, подобно тому, как была выведена формула (22), можно повышать точ­ность, проводя через последовательные ординаты многочле­ны более высоких степеней. В результате получаются фор­мулы Ньютона-Котеса³.

Наконец, опять без вывода, заметим, что верхняя грани­ца возможной ошибки округления при интегрировании по правилу Симпсона пропорциональна 1/h, как и для формулы трапеций.

На рис. 4 изображен также график зависимости общей ошибки от числа интервалов при интегрировании sin x от 0 до π по формуле Симпсона. На графике ясно видно, что при использовании формулы Симпсона ошибка уменьшается гораздо быстрее (h⁴ по сравнению с h²). Так как ошибки округления для обоих случаев примерно одинаковы, то при использовании формулы Симпсона ошибка округления начи­нает преобладать в общей ошибке гораздо раньше. Из рисунка видно, что общая ошибка возрастает при π > 50.