3. Ошибка ограничения для метода трапеций

При использовании формулы (4) для вычисления определенного интеграла возникает ошибка, равная сумме площадей между кривой у = f (х) и хордами, соединяющими у_i и y_i+1 (BC на рис. 2). Мы оценим эту ошибку, разлагая функцию у = f (x) в ряд Тейлора в точках x_i и, x_i+1. Это разложение позволит получить уравнение исходной кривой в виде, удобном для сравнения точного значения интеграла с приближенным, вычисленным по формуле (4).

Рассмотрим разложение функции у = f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x_t. Предположим, что f(х) имеет столько непрерывных производных, сколько может потребоваться.

(5)

Аналогично, разлагая функцию в ряд в окрестности точки x_i+1, имеем

(6)

Естественно, формулы (5) и (6) обе справедливы, но ни одна из них в отдельности не позволяет, получить интересующий нас результат. Поэтому возьмем среднее из обеих формул:

Интегрируя ydx от x_t до x_i+1, получаем

(7)

Это выражение представляет собой оценку истинного значения интеграла. Оценка может быть сделана как угодно точной, потому что можно взять сколь угодно большое количество членов в разложении функции в ряд Тейлора. Правило трапеций получается, если в формуле (7) отбросить все члены, содержащие h в степенях выше первой.

Поэтому ошибка ограничения при использовании метода трапеций равна

(8)

Для малых h первый член гораздо больше всех остальных, поэтому можно было бы предположить, что ошибка как раз им и определяется. Заметим, однако, что если разложить у' - df/dx в ряд в окрестности точки x_t и умножить на h², то получается

так что члены, содержащие y''h³, вносят вклад в величину первого члена в формуле (8). В действительности все члены высших порядков вносят некоторый вклад в величину первого члена.

Поэтому предположим, что ошибка при использовании метода трапеций выражается формулой

(9)

где константу К необходимо определить. Конечно, это будет только некоторое приближение, основанное на допущении о постоянстве K; такое приближение справедливо только до тех пор, пока у" и производные высших порядков не изменяются сильно между x_t и x_i+1.

Попытаемся определить K. Прежде всего заметим, что формула (7) справедлива для любой функции. Поэтому мы можем взять любую функцию, для которой ошибка ограничения при интегрировании по методу трапеций не равна нулю. Результат будет справедлив для всех функций.

Самой простой функцией было бы у = х, но очень легко убедиться, что для у = х ошибка ограничения равна нулю; это означает, что метод трапеций дает точный результат при интегрировании линейных функций. Рассмотрим у = х². В этом случае

(10)

Но из формул (7) и (8) и подстановки и y_i+1 = (x_i + h)² следует

(11)

Из уравнений (10) и (11) находим , но так как у' = 2х, то из (9) имеем

Поэтому для K получаем и окончательно

(12)

Полную ошибку ограничения можно оценить из соот­ношения

(13)

где у_b равно значению df/dx при х = b и у'_а равно значению df/dx при x = а.

Мы предоставляем читателям произвести те же выкладки для у = х3 и убедиться, что результат не зависит от конкретного выбора функции. Конечно, и в этом случае следует определять K из члена, содержащего h³, так как формула (9) справедлива только в предположении, что у" является постоянным.

Чаще ошибку ограничения для правила трапеций выражают с помощью несколько преобразованной формулы. На основании теоремы о среднем значении можно написать

где , так что

(14)

Более того, можно показать, что если в интервале

то

Необходимо напомнить еще раз, что формула (13) дает только оценку ошибки, но не ее верхнюю границу.