§ 6. Плоскость.

1. Общее уравнение плоскости

В ДПСК в пространстве плоскость задается уравнением 1-й степени:

. (13)

Опр. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормалью.

Нетрудно установить (см. §1, п.1), что вектор . Таким образом, геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости состоит в том, что они дают координаты нормали плоскости.

Проведем анализ общего уравнения плоскости (13).

Если , то плоскость проходит через начало координат: .

Если , то , т.к. .

Если и , то содержит ось Oz.

Если A=0, B=0, то .

Если A=0, B=0, , т.е. : .

Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

2. Уравнение плоскости в «отрезках»

Пусть в уравнении (13) . Разделим обе части уравнения на (–D), получим

, (14)

где − это отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Уравнение (14) называется уравнением плоскости в «отрезках».

Пр. 6x-4y+3z-12=0.

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Даны точка и вектор . Составим уравнение плоскости .

Пусть точка . Тогда . Следовательно, . Получаем уравнение плоскости :

. (15)

ПР. Найти уравнение плоскости , проходящей через перпендикулярно вектору .

4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Пусть заданы три точки , , . Составим уравнение плоскости .

Пусть точка . Тогда компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: ( )=0. Получаем:

=0. (16)

Замечание. Если точки лежат на одной прямой, то векторное произведение . Тогда уравнение (16) справедливо для любой точки М. Это означает, что через любую точку пространства проходит плоскость, содержащая точки .

ПР. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки: , .

5. Угол между плоскостями

Опр. Углом между плоскостями называется меньший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями:

Найдем угол между ними.

или . Следовательно,

.

Условие параллельности плоскостей:

.

Условие перпендикулярности плоскостей:

.

ПР. Найти угол между плоскостями 5x-2y+z+2=0 и x+3z+3=0.

§ 8. Прямая в пространстве.

1. Общие уравнения прямой.

Прямую в пространстве понимают как линию пересечения двух плоскостей: . Поэтому общими уравнениями прямой в пространстве называют уравнения

(17)

2. Канонические уравнения прямой.

Опр. Вектор, параллельный прямой , называется ее направляющим вектором.

Даны точка и вектор . Оставим уравнения прямой .

Возьмем произвольную точку . Очевидно, что . Следовательно, получаем:

. (18)

Уравнения (18) называются каноническими уравнениями прямой или уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору .

Замечание. Если в знаменателе дроби в формуле (18) появился 0, то эта запись понимается символически, и надо перейти к параметрическим уравнениям прямой (см. п.3).

3. Параметрические уравнения прямой.

Т.к.

. (19)

Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой.