3. Парабола (греч.- приложение)

О пр. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой d (директрисы) .

Получим уравнение параболы. Для этого введем на плоскости ДПСК так, чтобы фокус F оказался на оси Ох и имел координаты , а директриса d совпала с прямой , где р – расстояние от фокуса до директрисы. Это расстояние называется параметром параболы. Возьмем произвольную точку , принадлежащую параболе.

. Поэтому

;

;

. (11)

Если оси Ох и Оу поменять ролями, то парабола будет задаваться уравнением

. (12)

По определению эксцентриситет параболы считается равным 1: .

Опр. Парабола имеет одну ось симметрии. Эта ось называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы.

§3. Полярная система координат

Опр. Полярная система координат определяется заданием:

1) точки О – начала координат (полюс);

2) луча , исходящего из полюса (полярная ось);

3) единицей масштаба.

При этом поворот полярной оси вокруг полюса против часовой стрелки считается положительным. Углы измеряются в радианах.

Опр. Полярным радиусом точки М называется расстояние М от полюса: .

Опр. Полярным углом точки М называется угол поворота полярной оси до совпадения с лучом ОМ.

Для задания всех точек плоскости достаточно считать, что , а или . Тогда для каждой точки плоскости, кроме полюса, существует единственная пара полярных координат . Координаты полюса , имеет любое значение.

Верно и обратное: любая пара значений при определяют единственную точку плоскости. Значение задает полюс.

Связь ПСК с ДПСК.

Зададим на плоскости обе системы координат так, чтобы полюс был совмещен с началом ДПСК, ось абсцисс совпадала с полярной осью и единицы масштаба в обеих системах координат имели одинаковую длину. Тогда:

1) если точка М задана полярными координатами , то ее декартовы координаты вычисляются так:

;

2) если известны декартовы координаты точки , то ее полярные координаты находятся таким образом:

,

Замечание. Ограничения на полярные координаты , не являются существенными и в ряде задач могут быть убраны. Можно считать, что . Тогда для построения точки в случае делается необходимое число полных оборотов полярного луча вокруг полюса, а при от полюса откладывается отрезок длины на продолжении полярного луча за полюс.

§4. Преобразование декартовых координат

1. Параллельный перенос ск

П усть , , , , ,

, тогда , , , .

Таким образом, в системе координаты точки .

2. Поворот ск на плоскости

Введем четыре СК: ,

: .

: .

= = = .

= = = .

§ 5. Приведение общего уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду

Задача: по общему виду уравнения кривой 2-го порядка определить тип кривой и построить ее.

Будем рассматривать только случай, когда В=0, т.е. уравнение линии 2-го порядка имеет вид:

.

Метод решения данной задачи – выделение полного квадрата: (рабочая формула).

После выделения полного квадрата и перегруппировки слагаемых получим:

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то .

Сделаем параллельный перенос системы координат:

, .

В новой системе координат уравнение примет канонический вид. С учетом переноса СК, получим одну из следующих кривых:

– эллипс;

–гипербола;

– парабола;

– парабола.

ПР. . (эл.)