Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 1 состоит из 15 задач. Исходные данные для всех задач представлены в таблице (прил. 2). В соответствии с вариантом взять из этой таблицы координаты тех точек, которые используются в условии конкретной задачи. Решение каждой задачи выполнить на отдельном листе бумаги в клетку.

Задача 1

Задание: Построить проекции точки М, принадлежащей отрезку прямой АВ и удаленной на расстояние 25 мм от указанной плоскости проекций (π₁ - для нечетных вариантов, π₂ – для четных вариантов).

Координаты точек приведены в приложении 2.

Пояснения к решению задачи

Взаимно перпендикулярные плоскости π₁, π_2, π₃, называются плоскостями проекций, а линии их пересечения - координатными осями. Положение точки в пространстве вполне определяют две ее проекции.

Координаты точки, например А: Х_а, Y_a, Z_a , определяют расстояние от точки А до плоскости проекций π₁, π_2, π₃.

Проекция точки - точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через данную точку, с плоскостью проекций.

Точка, например А, (рис. 2) имеет проекции А′, А″, А‴ которые называются:

А' - горизонтальная проекция;

А" - фронтальная проекция;

А‴- профильная проекция

Прямые АА′, АА», АА‴ называются проецирующими прямыми. Они проходят через точку А перпендикулярно соответствующей плоскости проекций (АА′ π₁ - АА " - π₂, АА‴ - π₃.)

Чтобы получить плоский чертеж точки, поворачиваем плоскости проекций π₁, (горизонтальную) и π₃ (профильную) в указанном на рис. 3 направлении до совмещения с π₂ фронтальной плоскостью проекций.

Рис. 2. Проекции точки

Полученный чертеж называют трехпроекционным комплексным чертежом точки (рис. 3).

Рис. 3. Трехпроекционным комплексный чертеж

Проекцию точки на плоскость π₃можно построить по двум ее известным проекциям на плоскости π₁ и π_2, (рис.3.).

На комплексном чертеже ортогональные проекции точек А′ и А" и А‴ располагаются на прямых, перпендикулярных к соответствующим осям проекций.

Эти прямые (А’А", А "А‴) называются линиями связи.

Для построения проекции прямой достаточно знать проекции двух ее несовпадающих точек.

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой. Справедливо и обратное утверждение. Например, если точка М принадлежит отрезку прямой АВ, то М'ϾА'В'; М"ϾА"В", М‴ϾА‴В‴

Ͼ- знак принадлежности.

Точка М, принадлежащая отрезку прямой АВ, удалена от плоскости проекций π₂ на таком расстоянии, на каком ее горизонтальная проекция удалена от оси X.

Точка М, принадлежащая отрезку прямой АВ, удалена от плоскости проекций π₁ на таком расстоянии, на каком удалена ее фронтальная проекция от оси X.

По комплексному чертежу отрезка прямой АВ можно определить положение точек А и В относительно друг друга, положение отрезка прямой в пространстве (рис. 4).

Точка А расположена: выше точки В, так как Z_А > Z_В', ближе к плоскости π₂, чем точка В, так как Y_А<Y_В', дальше от плоскости π₃, чем точка В, так как Х_А > Х_В.

Так как Z_А ≠ Z_В, Y_А ≠ Y_B и Ха ≠ Х_В то отрезок АВ не параллелен ни одной из плоскостей проекций, т.е. является отрезком прямой общего положения.

Рис.4. Проекции отрезка АВ

На плоскости проекций π₁ и π₂ он проецируется с искажениями.

Если Z_А = Z_В , то отрезок прямой параллелен плоскости π₁.

Такая прямая называется горизонталью (рис. 5).

На плоскость проекций π₁ отрезок АВ проецируется без искажения, к плоскости проекций π₂ наклонен под углом ɣ°.

Рис. 5. Горизонталь	Рис.6. Фронталь

Если Yc = Y_D, то отрезок прямой параллелен плоскости π_2.

Такая прямая называется фронталью (рис. 6). На плоскость проекций π_2. отрезок CD проецируется без искажения, к плоскости проекций наклонен под углом φ°.

Прямая, параллельная двум плоскостям проекций, к третьей плоскости перпендикулярна и проецируется на нее в точку.

Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей.

Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций π₁ называется горизонтально - проецирующей прямой (рис.7).

Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций π₂ называется фронтально - проецирующей прямой (рис.9).

Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций π₃ называется профильно - проецирующей прямой (рис.8).

Решение подобной задачи рассмотрено в [1, с. 14... 16; 2, с. 10...12; 4, с. 9...13].