Контрольные вопросы

1. Сколько точек располагается на боковой поверхности конуса с вертикально расположенной осью вращения, если для них заданы координаты: 1) X и Y, 2) X и Z?

2. Как по заданной фронтальной проекции точки, принадлежащей открытому тору с горизонтально-проецирующей осью вращения, строится ее горизонтальная проекция?

3. Как определить видимость точки, принадлежащей поверхности?

Задача 19

Задание. Построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью вращения.

Исходные данные приведены в прил. 7. Решение задач 19 и 20 выполнить на одном листе чертежной бумаги формата A3 (рис. 35).

Пояснения к решению задачи

Для определения точек пересечения прямой с поверхностью необходимо:

1. Прямую заключить во вспомогательную плоскость (вспомогательную плоскость выбирают так, чтобы в ее пересечении с поверхностью вращения получалась простая линия (прямая или окружность)).

2. Построить линии (одну или две) пересечения этой плоскости с заданной поверхностью.

3. Искомые точки найдем в пересечении построенных линий с заданной прямой.

В примере (рис. 35) сфера пересекается прямой общего положения АВ.

Решение задачи упростится, если преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая стала параллельна одной из плоскостей проекций.

Способом замены плоскостей проекций перейдем от системы π₂ – π₁ к системе π₁ – π₄, в которой прямая АВ параллельна плоскости π₄. Далее заключим прямую АВ в плоскость α (α // π₄ ).

^{Плоскость а пересекает сферу по окружности,} проецируется на π₄ в натуральную величину. В пересечении этой окружности с A"₁В"₁ находим проекции искомых точек M"1 и N"₁.Обратными преобразованиями находим проекции этих точек в исходной системе плоскостей проекций.

Видимость прямой АВ относительно сферы определим способом конкурирующих точек. С помощью точек 1, 2 и 3, 4 определим видимость прямой АВ на плоскости π₂, с помощью точек 5, 6 и 7, 8 - на плоскости π₁ .

Если прямая АВ занимает проецирующее положение,

АВ⊥π₄, то A ′= В ′ = M′ = N′. Проекции точек М, N на плоскость π₂ находим из условия их принадлежности заданной поверхности (см. задачу 18).

Примеры решения подобных задач приведены в [2, с. 99, 95; 3, с. 189; 4, с. 189... 192; 5, с. 169, 170].

Рис. 35. Точки пересечения прямой с плоскостью вращения

Контрольные вопросы

1. Как определяются точки пересечения прямой общего положения с цилиндром, ось вращения которого занимает фронтально-проецирующее положение?

2. Какие проекции точек пересечения сферы фронтально-проецирующей прямой определяются без дополнительных построений?

Задача 20

Задание. Построить сечение поверхности вращения проецирующей плоскостью, заданной точками D, Е, F, и определить натуральную величину сечения.

Исходные данные приведены в прил. 8. Решение задач 20 и 19 выполнить на одном листе чертежной бумаги формата A3 (рис. 35).

Пояснения к решению задачи

В задаче 20 проецирующая плоскость пересекает цилиндр - по эллипсу, сферу - по окружности, конус - по эллипсу (рис. 36), или по параболе (рис. 37), или по гиперболе (рис. 37).

Открытый тор рассекается фронтально-проецирующей плоскостью, параллельной оси его вращения.

В приведенном на рис. 34 примере решения задачи конус рассекается плоскостью по эллипсу, так как секущая плоскость не перпендикулярна оси вращения конуса и пересекает все его образующие (см. рис. 35). Секущая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, поэтому на эту плоскость эллипс сечения проецируется в виде прямой, а на горизонтальную - в виде эллипса

Рис. 36	Рис. 37	Рис. 38

Большая ось эллипса MN проецируется на плоскость π₂ без искажения. Проекция малой оси эллипса на плоскость π₂ вырождается в точку К" = L" расположенную в середине отрезка М"N".

Для определения горизонтальной проекции малой оси эллипса через известную ее фронтальную проекцию проводим горизонтальную плоскость α₃. В сечении конуса получаем окружность, на горизонтальной проекции которой находим точки К′ L'. Проекции других точек линии пересечения построены с помощью вспомогательных плоскостей α₁, α₂, α₃ 4

Натуральная величина сечения найдена способом замены плоскостей проекций. От системы плоскостей проекций π₁-π₂ перейдем к системе π₂-π₄ (X₁ // M"N"). На плоскость π₄ сечение проецируется в натуральную величину.

Примеры решения подобных задач приведены в [1, с. 99, 100;2, с. 88, 90...93; 4, с. 181, 182; 5, с. 135...139].