Контрольные вопросы

1. Что представляет собой фигура сечения трехгранной пирамиды плоскостью, которая пересекает основание пирамиды и: проходит через ее вершину, параллельна одной из ее боковых граней, параллельна одному из ее ребер?

2. Что представляет собой фигура сечения трехгранной пирамиды плоскостью, которая проходит через одну из сторон основания пирамиды?

3. Секущая плоскость рассекает все ребра трехгранной пирамиды. Как построить одну из вершин сечения, не прибегая к способу замены плоскостей проекций?

Задача 17

Задание. Построить проекции линий пересечения четырех поверхностей вращения (цилиндра, сферы, конуса, тора) плоскостями уровня. Проекции линий пересечения выделить карандашами (фломастерами) разных цветов.

Исходные данные приведены в прил. 4. Решение задачи выполнить на четырех отдельных листах бумаги в клетку формата А4.

Примеры построения проекций линий пересечения поверхностей цилиндра и тора плоскостями уровня показаны на рис.33, 34.

Задача 17.1. Построить линии пересечения поверхности цилиндра плоскостями уровня.

Пояснения к решению задачи

Плоскость, перпендикулярная оси вращения поверхности, пересекает ее по окружности. Это плоскость для цилиндра (прил. 4, рис. 1), для сферы - плоскости a₁, a₂, β (прил. 4, рис. 2), для конуса - плоскости a₁, a₂, (прил. 4, рис.3), для тора - плоскости β₁, β_2, β₃, (прил. 4, рис. 4).

Цилиндр пересекается по двум прямолинейным образующим, если секущая плоскость параллельна оси его вращения (плоскости α и β на рис. 1, прил. 4).

Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получаем окружность диаметра, равного диаметру сферы (плоскость (α₁ рис.2, прил. 4).

Плоскость, проходящая через ось вращения конуса, рассекает его по двум образующим (плоскость β на рис. 3, прил. 4).

Проекции линий пересечения поверхности плоскостью видимы, если они находятся на видимых частях поверхности.

Примеры решения подобных задач приведены в [2, с. 66, 67].

Рис. 33. Пересечение цилиндра линиями уровня

Задача 17.4. Построить линии пересечения поверхности тора плоскостями уровня.

Рис. 34. Пересечение тора линиями уровня

Задача 18

Задание. На комплексном чертеже поверхности (цилиндра, сферы, конуса, тора) построить проекции одной (А, В) или двух (A₁, А₂; B_1t В₂) принадлежащих ей точек, если известны только две их координаты {Х_а, Y_a, Х_в, Z_b).

Определить видимость точек.

Исходные данные приведены в прил. 5, 6. Решение задачи выполнить на четырех отдельных листах бумаги в клетку формата А4.

Примеры построения проекций точек A_1, А₂ и B_1t В₂, принадлежащих поверхности цилиндра, тора, показаны на рис. 34, 35.

Пояснения к решению задачи

Для определения проекции точки, принадлежащей поверхности вращения, необходимо на ней через известную проекцию точки провести окружность. Построить другую проекцию этой окружности и на ней найти искомую проекцию точки (рис. 34, 35).

Для цилиндра, конуса также возможно использовать для этого их прямолинейные образующие.

На поверхности вращения могут находиться две точки, у которых их две одноименные координаты совпадают.

На цилиндре проекции точки находятся с помощью его профильной проекции (рис. 33). У точек A₁ и А₂ совпадают их горизонтальные проекции, у точек В₁иВ₂- фронтальные проекции.

На половине открытого тора (рис. 35) через точки A₁ и А₂, у которых совпадают горизонтальные проекции, можно провести соответственно полуокружности радиуса R₁ и R₂.

Рис.33. Построение недостающих проекций (цилиндр)

Рис.34. Построение недостающих проекций (тор)

Горизонтальными проекциями этих полуокружностей являются две совпадающие друг с другом прямые.

Через совпадающие фронтальные проекции двух точек B₁ и В₂ на половине тора можно провести две полуокружности одинакового радиуса. Одна из них находится на видимой части тора, а другая - на невидимой. Фронтальные проекции полуокружностей совпадают.

Горизонтальными проекциями этих полуокружностей являются две совпадающие друг с другом прямые.

Примеры решения подобных задач приведены в [2, с. 82, 83; 3, с. 140, 141, 154, 155; 4, с. 154, 155; .85; 5, с. 123].