Контрольные вопросы

• Когда плоская фигура проецируется на плоскость проекций в натуральную величину?

• Как выбиралось положение новых плоскостей проекций при решении задачи?

Контрольная работа № 2

Контрольная работа № 2 состоит из задач 16-22.

Задача 16

Задание. Построить сечение трехгранной пирамиды с основанием АВС и вершиной S плоскостью, заданной тремя точками D, Е, F (Y_f = Z_f = 0).

Определить натуральную величину сечения. Построить развертку рассеченной пирамиды, расположенной между ее основанием и секущей плоскостью.

Решение задачи выполнить на листе чертежной бумаги формата A3.

Исходные данные приведены в прил. 3, пример решения представлен на рис. 29-31.

Пояснения к решению задачи

Сечение пирамиды плоскостью представляет собой плоскую фигуру и содержит в себе точки принадлежащие как поверхности пирамиды так и секущей плоскости.

Пирамида - это многогранник - геометрическое тело боковой поверхностью которого служат плоские грани в виде треугольников. Линии пересечения граней (плоскостей) называются ребрами. В основании пирамиды находится плоский многоугольник, число сторон которого соответствует количеству боковых граней. По количеству боковых граней пирамиду называют трех-, четырех-, пяти-, шестигранной и т. д.

Проекциями сечения многогранников плоскостью, в общем случае, являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны граням многогранника.

Найти сечение пирамиды плоскостью означает построение линии пересечения поверхности пирамиды (многогранника) плоскостью и сводится к многократному определению:

• либо, линии пересечения двух плоскостей (граней пирамиды и секущей плоскости), которые соединяясь между собой образуют искомую линию сечения;

• либо, точки встречи прямой (ребер пирамиды) с секущей плоскостью, которые соединяясь между собой прямыми линиями, образуют искомую линию сечения.

Построить сечение пирамиды плоскостью будет значительно проще если секущая плоскость занимает проецирующее положение. (рис. 29)

Рис. 29. Сечение трехгранной пирамиды

Найти сечение трехгранной пирамиды плоскостью a⊥π₁- горизонтальной плоскости проекций.

На горизонтальной плоскости проекций находим точки пересечения α_H с ребрами пирамиды: 1′, 2′, 3′.

На фронтальной плоскости проекций находим точки: 1", 2", 3", на пересечении линий проекционной связи с ребрами пирамиды: S"A", S"B", S"C" соответственно.

Плоская фигура 1 2 3 - треугольник, есть искомое сечение пирамиды плоскостью α_H.

Построить сечение пирамиды плоскостью, заданную следами.

Рис. 30. Сечение пирамиды плоскостью, заданной следами

Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 1(...,1"), 3(...3") и 5(...5"), принадлежащих ребрам SA, SC и SE соответственно (рис.30). Достроить линию сечения пирамиды плоскостью α.

Рис. 31. Определение натуральной величины сечения

Сечение пирамиды плоскостью

Алгоритм решения задачи:

1. Преобразовать секущую плоскость α в фронтально проецирующую: - строится в секущей плоскости горизонталь h.

2. Производится перемена плоскости проекции V на V₁;- строятся проекции секущей плоскости α"₁ и пирамиды S"₁A"₁B"₁C"₁D"₁E"₁.

3. Отмечаются точки пересечения ребер пирамиды с α"₁: 1"₁, 2"₁, 3"₁, 4"₁ и 5"₁;

4. Преобразовать секущую плоскость α(α`, α"₁) в фронтально проецирующую плоскость уровня α"₁.

5. Производится перемена плоскости проекции H на H₁ при этом x₂ // α"₁;- строятся точки сечения 1₀′, 2′₀, 3′₀, 4′₀ и 5′₀,

6. Найденные точки соединить прямыми линиями и получить искомую натуральную величину сечения пирамиды.

В приведенном на рис. 33 примере прямая FD является фронталью секущей плоскости, так как точки F и D имеют одинаковые координаты Y (Y_f = Y_D = 0), а прямая FE - ее горизонталью, так как точки F и Е имеют одинаковые координаты Z (ZF = ZE=Q).

Для построения проекций сечения пирамиды плоскостью целесообразно использовать способ замены плоскостей проекций. Необходимо так преобразовать комплексный чертеж, чтобы в новой системе плоскостей проекций секущая плоскость стала проецирующей.

В примере, приведенном на рис. 32, исходную систему плоскостей π₂-π₁ заменим системой π₁-π₄.

Плоскость проекций π₄ перпендикулярна секущей плоскости и плоскости π₁.

Рис. 32 Построение развертки усеченной трехгранной пирамиды

Рис.32. Построение развертки усеченной трехгранной пирамиды

Новая ось X₁перпендикулярна F'E' - горизонтальной проекции горизонтали секущей плоскости.

В системе плоскостей проекций π₁-π₄ секущая плоскость занимает проецирующее положение, поэтому на одной прямой находятся проекции точек F₁", E₁" D₁" секущей плоскости и вершин K₁", M₁", L₁" треугольника сечения.

Обратными преобразованиями находим проекции вершин треугольника сечения сначала на плоскость π₁, а затем на плоскость π_2.

При определении видимости ребер многогранника следует иметь в виду, что ребро видимо в том случае, если оно расположено на видимой грани.

Для определения натуральной величины сечения переведем плоскость треугольника сечения из проецирующего положения в положение плоскости уровня. Для этого введем дополнительную плоскость проекций π₅, параллельную плоскости треугольника КЕМ и перпендикулярную плоскости π4.

Новую ось Х₂ строим параллельно плоскости треугольника сечения (Х₂ // K"₁L"₁).

В системе плоскостей π₄-π₅ треугольник КЕМ проецируется на плоскость проекций π₅ в натуральную величину.

Развертка нижней части рассеченной пирамиды в приведенном на рис. 32 примере выполнена способом треугольников. Способ основан на том, что по трем отрезкам можно построить единственный треугольник.

Построение развертки сводится к построению натуральных величин ее граней. Натуральные величины граней нижнего (ABC) и верхнего {КЕМ) оснований пирамиды известны.

Натуральные величины ребер SA, SB, SC определим способом прямоугольного треугольника. Используя теорему Фалёса¹, на ребрах найдем вершины М, К, L треугольника сечения.

Сначала построим развертку боковой поверхности не рассечённой пирамиды. Для этого на свободном поле чертежа проводим прямую (обычно вертикальную) и на ней строим натуральную величину ребра SA.

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Из точек S и А делаем засечки соответственно радиусами SC и АС. В пересечении дуг находим точку С, которую соединяем с точками S и С.

К полученной развертке грани SCA последовательно пристраиваем остальные боковые грани и на соответствующих их ребрах отмечаем точки К, М, L.

Соединив эти точки ломаной прямой и построив на сторонах АВ и КМ натуральные величины граней соответственно нижнего и верхнего оснований пирамиды, получаем искомую развертку.

Примеры решения подобных задач приведены в [1, с. 100,102; 2, с. 66, 67; 3, с. 123, 124; 4, с. 116, 123, 124; 5, с.200, 201; 6, с. 146, 147].