ИДЗ по мтаематической логике.Вариант 12

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ОТЧЁТ ОБ ИНДИВИДУАЛЬНОМ ДОМАШНЕМ ЗАДАНИИ

по дисциплине

«Математическая логика»

Студент

Пантюшин М.Н.

подпись, дата

фамилия, инициалы

Группа

АС-09

Принял

доцент

Гаев Л.В.

ученая степень, звание

подпись, дата

фамилия, инициалы

Липецк 2010

1. ЗАДАНИЕ КАФЕДРЫ

Задание №12

Дополнение до матрицы со свойством связности

Условие: Заданы ( 0 - 1 ) – матрица A порядка m x n и положительное целое число K.

Вопрос: Существует ли матрица A', получаемая из матрицы A заменой в ней не более K нулевых элементов единицами, такая, что A обладает свойством связности единиц?

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ЗАДАЧИ

К NP-КЛАССУ

I: {a₁₁, a₁₂, … a_1n; … ;a_m1,a_m2, … a_mn};

K - построчно записанная матрица и число К.

S: {a`<sub>11</sub>, a`₁₂, … a`<sub>1n</sub>; … ;a`_m1,a`<sub>m2</sub>, … a`_mn}

матрица А` такой же размерности с замененными элементами.

1. Проверка размерности матрицы А`. Считаем количество элементов в матрицах в 1-й строке до «;» (2n) затем количество строк – число встречающихся символов «;» +1 (2m), и сравниваем между собой. 2n+2m+2 операций.

2. В каждой строке из S n элементов, каждый является 0 или 1.

2mn операций. (mn чтобы посчитать и каждый сравнить).

3. Проверка того, что число замененных элементов не больше K. Берем последовательно элементы из цепочки I и соответствующий элемент из S и сравниваем (mn). Если различны, прибавляем единицу к счетчику повторений t (mn) (всю таблицу заменили). Сраниваем t, K (1). 2mn+1

4. Проверка связности матрицы А`. Все единицы должны быть связны, то есть между ними не должно содержаться нулей. Последовательно просматриваем строки матрицы S и сравниваем с 1. Как только найден первый 0 после 1, каждый следующий элемент должен быть равен 0. Для этого потребуется mn операций.

5. Далее сверка связности единиц в столбцах. Выделим 2 переменные, означающие номер первой и последней единицы в строке a=0 и b=0. Проходим последовательно первую строку и подсчитываем номер первой единицы a и номер последней единицы (2n+3 операций).

N сравнений, еще n прибавлений к счетчику, когда встречаем единицу заносим текущий номер в а`(1), когда потом встречаем 0 - вычитаем из номера 1 и заносим в b`(2), либо встречаем ; и заносим в b` число n. Сравниваем a`,а и b`, b(2 операции). Если они равны, это означает что первая строка из нулей, иначе присваиваем a=a`, b=b`. (2 операции) Теперь для выполнения свойства связности единицы каждой строки должны начинаться с а по b, или быть пустыми строками без единиц. Когда a,b заменяются обратно на нули, каждое следующее a` b` должно так же быть 0. Итого получается (2n+5)m+4 (для каждой из m строк делаем 2n+3 операций, и 2 сравнения; еще 4 возможные операции - это присваивание значений a,b сначала натуральных значений, и потом 0 если будут пустые строки).

Общее время работы 7mn+2n+7m+7. Поскольку время работы полиномиально, задача принадлежит к классу NP.

3. Доказательство NP-полноты

Докажем NP-полноту данной задачи методом локальной замены. Для этого ограничим данную задачу ДОПОЛНЕНИЕ ДО МАТРИЦЫ СО СВОЙСТВОМ СВЯЗНОСТИ, для сведения ее к NP-полной задаче ЛИНЕЙНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ.

Пусть индивидуальная задача ЛИНЕЙНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ задаётся множеством L вершин графа и множеством E ребер графа. Вопрос данной задачи: существует ли функция f: V →{1,2,3…|V|}, что

.

Любую матрицу парных сравнений с неотрицательными элементами a(i,j) ≥ 0 можно представить в виде ориентированного графа G = (X, D), в котором вершинами служат альтернативы, и две вершины x_i и x_j связаны дугой d=(x_i, x_j) Î D c весом a_i,j тогда и только тогда, когда a_i,j > 0. Будем называть его графом предпочтений. Очевидно, что этот граф не содержит петель и кратных дуг.

В задаче требуется найти такой линейный порядок на исходном множестве альтернатив X, который является наилучшим приближением исходной структуры предпочтений, представленной в виде матрицы.

Таким образом, для задачи ЛИНЕЙНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ искомая функция f существует тогда и только тогда, когда для соответствующей индивидуальной задачи ДОПОЛНЕНИЕ ДО МАТРИЦЫ СО СВОЙСТВОМ СВЯЗНОСТИ существует дополнение до матрицы со свойством связности. Вследствие, что и доказывает NP-полноту данной задачи.