5.2.2. Игра двух лиц с нулевой суммой

Методы теории игр наиболее развиты для конечной одноходовой игры двух лиц с нулевой суммой, т. е, сумма выигрышей игроков равна нулю (выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, каждый игрок выигрывает только за счет другого игрока). Такие игры также называются антагонистическими.

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой.

Участников игры обозначим через А и В. Эту игру можно описать с помощью так называемой платежной матрицы игры порядка. Строки этой матрицы являются чистыми стратегиями игрока А, а столбцы – чистыми стратегиями игрока В. Предполагается, что каждому игроку известны все элементы платежной матрицы. Элементплатежной матрицы определяет результат игры, а именно выигрыш при выборе игроками А и В стратегийисоответственно.

Так как сумма выигрышей игроков равна нулю, платежная матрица игрока В равна платежной матрице игрока А, умноженной на (-1). В силу этого достаточно исследовать только платежную матрицу игрока А. Положительный элемент этой матрицы определяет выигрыш игрока А и проигрыш игрока В, отрицательный - проигрыш игрока А и выигрыш игрока В.

Одноходовая игра двух лиц с нулевой суммой проходит следу­ющим образом. Игрок А выбирает i- ю строку платежной матрицы (чистую стратегию), а игрок В выбираетj- й столбец матрицы (чистую стратегию). Элемент, стоящий на пересечении выб­ранной строки и столбца, определяет выигрыш игрока А. Выигрыш игрока В равен (). В данной игре игрок А стремится выбрать такую строку матрицы, чтобы максимизировать свой выигрыш, а игрок В — такой столбец матрицы, чтобы минимизировать свой проигрыш.

Пример 5.2.2.1.В качестве примера игры двух лиц с нулевой суммой рассмот­рим условную военную игру под названием «игра полковника Блотто». Две армии ведут борьбу за два населенных пункта. Ар­мия полковника Блотто (игрок А) состоит из четырех формирова­нии, армия противника (игрок В) — из трех.

Сформулируем правила игры. Армия, которая посылает боль­ше формирований на один или другой пункт, занимает его и унич­тожает посланные туда формирования противника, получая по единице за каждый занятый пункт и каждое уничтоженное форми­рование противника. В случае равенства сил на одном или дру­гом пункте противники очков не получают. Общий выигрыш опре­деляется как сумма выигрышей в двух пунктах.

Партия игры представляет собой упрощенную имитацию военных действий. Каждый противник должен решить, как распределить свои силы, чтобы, не зная действий противника, выиграть максимальное количество очков.

Поскольку игроки стремятся к наибольшему выигрышу, они будут использовать в бою все формирования. Следовательно, у полковника Блотто имеется пять стратегий: (4,0); (0,4); (3,1); (1,3); (2,2), а у противника - четыре стратегии: (3,0); (0,3); (2,1); (1,2). Первое число в каждой стратегии показывает количество формирований, посланных на первый пункт, второе - на второй пункт. Теперь составим платежную матрицу, которая представлена в табл.5.2.2.1.

Таблица 5.2.2.1.

	(3,0)	(0,3)	(2,1)	(1,2)
(4,0)	4	0	2	1
(0,4)	0	4	1	2
(3,1)	1	-1	3	0
(1,3)	-1	1	0	3
(2,2)	-2	2	2	2

Поясним расчет одного из элементов платежной матрицы пример = -2. (игроки А и В применяют свои чистые стратегиии). Игрок А посылает на первый пункт меньше формирований (два), чем игрок В (три). Согласно правилам игры игрок А теряет все свои формирования и первый пункт, проигрывая соответственно 2 и 1 очко. Выигрыш игрока А на первом пункте 1 составит -3 очка. На второй пункт игрок А посылает два своих формирования, а игрок В – ни одного. Следовательно, игрок А выигрывает только 1 очко, получая его за взятие второго пункта. В итоге выигрыш игрока А составит -2 очка или, по-другому, игрок А проигрывает 2 очка, а игрок В столько же очков выигрывает.