5.1.3. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок Арасполагаеттличными стратегиями, которые обозначимА₁, А₂,..., А_m.Пусть у игрокаВимеетсяпличных стратегий, обозначим ихВ₁, В₂, ..., B_n. Говорят, что игра имеет размерностьтхп.В результате выбора игроками любой пары стратегий

A_i и B_j (i = 1, 2,..., т; j = 1, 2,..., п)

однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш а_ijигрокаА (положительный или отрицательный) и проигрыш (—а_ij) игрокаВ. Предположим, что значенияа_ijизвестны для любой пары страте­гий (A_i, B_j).МатрицаР =(а_ij), i = 1, 2, ...,т; j = 1, 2, ...,n, эле­ментами которой являются выигрыши, соответствующие страте­гиямА_iи B_j,называетсяплатежной матрицейилиматрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 5.1.3.1. Строки этой таблицы соот­ветствуют стратегиям игрокаА,а столбцы — стратегиям игрокаВ.

Таблица 5.1.3.1

Bj Ai	B1	B2	…	Вп
A1	а11	а12	…	а1n
A2	а21	а22	…	а2n
…	…	…	…	…
Am	аm1	аm2	…	аmn

Составим платежную мат­рицу для следующей игры.

Пример 5.1.3.1Игра "поиск". ИгрокАможет спрятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрокВищет игрокаА,и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. отА,в противном слу­чае платит игрокуА1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение.Для составления платежной матрицы следует про­анализировать поведение каждого из игроков. ИгрокАможет спрятаться в убежищеI— обозначим эту стратегию черезА₁или в убежище II — стратегияА₂.

Игрок Вможет искать первого игрока в убежищеI— стратегияВ₁, либо в убежище II — стратегияВ₂.Если игрокАнаходится в убе­жище I и там его обнаруживает игрокВ, т.е. осуществляется пара стратегий(А₁, В₁),то игрокАплатит штраф, т.е.а₁₁= —1. Аналогич­но получаема₂₂= —1 (A₂, B₂).Очевидно, что стратегии (A₁, B₂) и (A₂, B₁) дают игрокуАвыигрыш 1, поэтомуа₁₂=а₂₁= 1. Таким образом, для игры "поиск" размера 2х2 получаем платежную матрицу

.

Рассмотрим игру тхпс матрицейР= (a_ij),i=1, 2, ...,т;j=1, 2, ...,пи определим наилучшую среди стратегийА₁, А₂,..., А_m. Выбирая стратегиюА_i, игрокАдолжен рассчитывать, что игрокВ ответит на нее той из стратегийB_j, для которой выигрыш для иг­рокаАминимален (игрокВстремится "навредить" игрокуА).

Обозначим через _iнаименьший выигрыш игрокаАпри вы­боре им стратегииА_i для всех возможных стратегий игрокаВ (наименьшее число вi-й строке платежной матрицы), т.е.

(5.1.3.1)

Среди всех чисел _i (i = 1, 2, ..., т) выберем наибольшее: Назовем нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

(5.1.3.2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.ИгрокВзаинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрокаА; выбирая стратегиюB_j, он учитывает макси­мально возможный при этом выигрыш дляА.Обозначим

(5.1.3.3)

Среди всех чисел _jвыберем наименьшееи назовемверхней ценой игрыилиминимаксным выигрышем (минимаксом).Этогарантированный проигрыш игрока В.Следова­тельно,

(5.1.3.4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимакс­ной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса.Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в примере 1. Рассмотрим платежную матрицу

из примера 1. При выборе стратегии А₁(первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен₁=min(—l;l) = —1 и соответству­ет стратегии₁ игрокаВ.При выборе стратегииА₂(вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен₂ =min(l;—l) = —1, он достигается при стратегииВ₂.

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии иг­рока В, т.е. нижнюю цену игры =max(₁,₂) =max(—l;—l) = —1, игрокАможет выбирать любую стратегию:А₁илиА₂, т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию В₁(столбец 1),игрокВпонимает, что иг­рокАответит стратегиейA₂, чтобы максимизировать свой выиг­рыш (проигрышВ).Следовательно, максимальный проигрыш игрокаВпри выборе им стратегии B₁равен₁ =max(—1; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В(выигрышА) при выборе им стратегииВ₂(столбец 2)равен₂ =max(1; —1) = 1.

Таким образом, при любой стратегии игрока Агарантирован­ный минимальный проигрыш игрокаВравен =min(₁,₂) =min (1; 1) = 1 —верхней цене игры.

Любая стратегия игрока Вявляется минимаксной. Дополнив табл. 1строкой_jи столбцом_iполучим табл. 5.1.3.2.На пе­ресечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Таблица 5.1.3.2

Bj Ai	B1	B2	i
A1	—1	1	—1
A2	1	—1	—1
j	1	1	 = —1  = 1

В примере 5.1.3.1,рассмотренном ранее, верхняя и нижняя цены игры различны:.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значе­ние верхней и нижней цены игры = =называетсячистой ценой игры,илиценой игры.Минимакс­ные стратегии, соответствующие цене игры, являютсяоптимальными стратегиями, а их совокупность —оптимальным решением,илирешениемигры. В этом случае игрокАполучает максимальный га­рантированный (не зависящий от поведения игрокаВ) выигрыш , а игрокВдобивается минимального гарантированного (вне зависи­мости от поведения игрокаА) проигрыша. Говорят, что решение игры обладаетустойчивостью, т.е. если один из игроков придержи­вается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий A_iиB_jдает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемента_ijявля­ется одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называетсяседловой точкой(по аналогии с поверхностью седла, которая ис­кривляется вверх в одном направлении и вниз —в другом).

Обозначим А*иВ* —пару чистых стратегий, на которых дос­тигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введем функ­цию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий:Р(А_i, В_j) = а_ij. Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняет­ся двойное неравенство:Р(А_i, В*)Р(А*, В*)Р(А*, В_j),которое справедливо для всехi = 1, ...,т; j = 1, ...,п.Действительно, вы­бор стратегииА*первым игроком при оптимальной стратегииВ* второго игрока максимизирует минимальный возможный выиг­рыш:

Р(А*,В*) > Р(А_i,В*), а выбор стратегииВ*вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш:Р(А*, В*)Р(А*, В_j).

Пример 5.1.3.2.Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной пла­тежной матрицей

Имеет ли игра седловую точку?

Таблица 5.1.3.3

Bj Ai	B1	B2	B3	i
A1	0,5	0,6	0,8	0,5
A2	0,9	0,7	0,8	0,7 0,7
A3	0,7	0,6	0,6	0,6
j	0,9	0,7	0,8	 =  = 0,7

Решение.Все расчеты удобно проводить в таблице, к кото­рой, кроме матрицыР,введены столбец_i, и строка_j(табл.3).Анализируя строки матрицы (стратегии игрокаА),заполняем столбец_i:₁ = 0,5,₂ = 0,7,₃ = 0,6 —минимальные числа в строках 1, 2, 3.Аналогично₁ = 0,9,₂ = 0,7,₃ =0,8 —макси­мальные числа в столбцах 1, 2, 3соответственно. Нижняя цена игры=max(0,5; 0,7; 0,6) = 0,7(наибольшее число в столбце_i) и верхняя цена игры=min(0,9; 0,7; 0,8) = 0,7 (наименьшее число в строке_j). Эти значения равны, т.е.=, и достигаются на одной и той же паре стратегий (A₂,B₂). Следо­вательно, игра имеет седловую точку (A₂,B₂) и цена игры= 0,7.