4. Задача о назначениях

4.1. Общие сведения

Задача о назначениях– одна из наиболее известных дискретных оптимизационных задач.Цель задачи — найти оптимальное (минимальной стоимости) распределение работников по заданным работам. Задача о назначениях имеет широкое применение, например, при закреплении машин за маршрутами, распределении инструментов для обработки различных марок стали и т.д.

Постановка задачи.

• Необходимо назначить работников на опредленные работы.

• Каждый работник может выполнять любую работу, хотя и с различной степенью мастерства.

• Если на некоторую работу назначается работник именно той квалификации, которая необходима для ее выполнения, стоимость выполнения работы будет ниже, чем при назначении работника неподходящей квалификации.

• Цель – найти оптимальное (минимальной стоимости) распределение работников по всем заявленным работам.

	Работы
Работники		1	2	…	n
	1	C11	C12	…	C1n
	2	C21	C22	…	C2n
	…	…	…	…	…
	n	Cn1	Cn2	…	Cnn

Очевидный метод решения задачи заключается в переборе n! перестановок. Однако на практике такой неэффективный способ становится неприменимым уже для матриц небольших размеров.

Задача о назначениях является частным случаем общих классов оптимизационных задач, и поэтому существует много разнообразных методов ее решения.

4.2. Венгерский метод. Минимизация

4.2.1. Общие сведения. Постановка задачи

Идея метода была высказана венгерским математиком Эгервари и состоит в следующем. Строится начальный план перевозок, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям задачи (из некоторых пунктов производства не весь продукт вывозится, потребность части пунктов потребления не полностью удовлетворена). Далее осуществляется переход к новому плану, более близкому к оптимальному. Последовательное применение этого приема за конечное число итераций приводит к решению задачи.

Пусть имеется n работ (задач) иnкандидатов на их выполнение (работников, процессоров, мест, машин). Пусть – затраты (стоимость, время), связанные с назначением кандидатаi на работуj. Введем переменные такие, что , если кандидатiназначен на работуj, и , в противном случае. Задача заключается в таком назначении (распределении) при котором суммарные затраты на выполнение всех работминимальны.

Задача может быть сформулирована как задача ЛП.

(4.1)

причем

для всех _,(4.2)

т.е. каждый кандидат назначается только на одну работу, и каждая работа выполняется только одним кандидатом. Решение данной задачи путем прямого перебора практически затруднительно при больших значениях .

Есть специальный метод решения этой задачи, называемый венгерским методом. Метод основывается на том факте, что оптимальность решения не нарушается при увеличении или уменьшении элементов строки (столбца) таблицы на одну и ту же величину. Отсюда следуют все основные преобразования исходной таблицы.