5.2. Теория игр. Смешанные стратегии. Решение игр методом линейного программирования

5.2.1. Основные понятия теории игр

Выбор оптимальных решений может осуществляться в условиях определенности, риска и неопределенности. При выборе решений в условиях риска исследова­тель располагает полной статистической информацией, которой достаточно для определения вероятности допустимых решений и выбора среди них оптимального «в среднем». В условиях неопределенности такая информация отсутствует.

Аппарат теории игр предназначен для выбора оптимальных решений в условиях неопределенности, т. е. предметом ее изучения являются ситуации, когда отсутствует полная информация, необ­ходимая для выбора решения. Несовпадение целей участников процесса, их интересов созда­ет конфликт между ними, или конфликтную ситуацию. Необходи­мость анализировать такие ситуации привела к возникновению теории игр. Методы теории игр разработаны применительно к специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свой­ством многократной повторяемости. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действия уча­стников многократно повторяющегося конфликта.

Первые работы по теории игр относятся к началу XXв. Ос­нователем теории игр является американский математик Дж. фон Нейман, который в 1928 г. доказал основополагающую теоре­му теории игр — теорему о минимаксе. Бурное развитие теория игр получила после выхода в свет в 1944 г. книги Дж. фон Ней­мана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведе­ние», в которой впервые было дано систематизированное, полное и строгое изложение теории игр. Определенную роль в этом раз­витии сыграло создание и совершенствование электронной вычи­слительной техники.

Авторы этой книги провели анализ конфликтных ситуаций возникающих в условиях капиталистической экономики, когда при наличии свободной конкуренции в роли конфликтующих сто­рон выступают, например, торговые фирмы, промышленные другие предприятия. Они надеялись, что теория игр окажет боль­шое влияние на развитие экономических исследований. Однако в силу различных причин методы теории игр не нашли широки применения в экономике. Одна из основных причин такого положения - математические модели экономических систем слишком сложны для анализа их с помощью методов теории игр.

Конфликтные ситуации могут возникать и во многих других областях человеческой деятельности. Это ситуации, складывающиеся при планировании и в ходе военных действий, при анализе надежности технических систем. Здесь теория игр нашла широкое применение.

В настоящее время теория игр представляет собой развитую математическую дисциплину. За последние годы были преодолены трудности, возникающие из-за сложности анализа математических моделей экономических систем методами теории игр. Созданы новые, позволяющие решать такие задачи численные методы.

Как известно, математика изучает не сами системы, а их модели. В теории игр рассматриваются модели конфликтных ситуаций. Реальные конфликтные ситуации обычно сложны, поэтому исход конфликта зависит от большого количества факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликтной си­туации, необходимо создать такую ее модель, которая бы учиты­вала влияние основных факторов и игнорировала второстепенные. Такая упрощенная модель называется игрой.

Итак, игра —это модель конфликтной ситуации. От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по определенным правилам, которые известны участникам конфликта и строго ими выполняются. Правила определяют возможные вари­анты действий участников игры, объем информации об этих дей­ствиях, а также результат игры.

Базой для анализа конфликтных ситуаций послужили широко известные спортивные и азартные игры (шахматы, шашки, кар­точные игры). Поэтому в теории игр используется следующая терминология.

Игроки — это стороны, участвующие в конфликте. Игроками могут быть как отдельные личности, так и коллективы людей, име­ющих общие цели (спортивные команды, неприятельские армии, конкурирующие фирмы, страны и т. п.).

Выигрыш (проигрыш, платеж) — результат конфликта. Предполагается, что интересы игроков поддаются количественному описанию и, следовательно, выигрыш определяется некоторым числом.

В игре могут сталкиваться интересы двух и более игроков. В первом случае игра называется парной, во втором – множественной. В дальнейшем будем рассматривать только парные, имеющие наибольшее практическое значение.

Различают понятие «игра» и «партияигры». В данном случае под игрой понимают совокупность правил, определяющих поведение игроков, а под «партией игры» - реализацию игры некоторым конкретным образом от начала до конца (например, партия игры в шахматы), Как уже отмечалось, теория игр дает рекомендации по рациональному образу действия участников многократно повторяющегося конфликта. Это сводится к предположению о том, что любая игра состоит из бесконечного числа партий и оптимальное поведение игроков является оптимальным «в среднем» на множестве партий игры.

Каждая партия игры состоит из последовательности ходов. Ходом в теории игр называется выбор одного из предложенных правилами игры действий и его осуществление. Сами действия называютсястратегиями (или чистыми стратегиями). Существует и понятие смешанной стратегии, которое будет определено позднее.

Для разрешения конфликтной ситуации игрокам приходит принимать решения путем выбора какой-то стратегии. Если число возможных стратегий каждого игрока конечно, то игра называете конечной, в противном случае —бесконечной.

Игры бывают одноходовые и многоходовые. При одноходовой игре каждый игрок делает по одному ходу и сразу определяется результат игры (например, игра в кости, игра в монету). Предполагается, что каждому игроку известен набор стратегий противника и результат, к которому приводит выбор определенной стра­тегии.

Ходы могут быть личные ислучайные. Личный ход осуществляется в результате сознательного выбора игроком одной из стратегий. Например, в шахматах каждый ход является личным. Уже первый ход — это выбор одной из 20 возможных стратегий, а именно 16 ходов пешками и 4 хода конями.Случайный ход осуществляется не игроком, а некоторым случайным образом.

Существуют игры, которые содержат только личные или толь­ко случайные ходы, а также те и другие. Теория игр занимается анализом игр, которые содержат только личные ходы (шахматы, шашки и др.) или наряду с ними и случайные (некоторые карточ­ные игры). Некоторые игры содержат только случайные ходы (это так называемые азартные игры, к которым относятся рулетка, иг­ра в кости, игра в монету и др.) и поэтому теорией игр не изу­чаются.

В зависимости от степени информированности игроков о про­цессе развития игры различают игры с полной и неполной инфор­мацией. Если в игре нельзя делать одновременно несколько ходов, и каждый игрок при каждом личном ходе знает выборы, сде­ланные при предшествующих ходах, включая и случайные, то такая игра называется игрой с полной информацией (шахматы, шашки, игра в крестики-нолики). В противном случае игра являет­сяигрой с неполной информацией (сюда относятся некоторые карточные игры, когда неизвестно, например, какие карты находятся на руках у противника).