5.1.6. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования

Игра т х пв общем случае не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко при большихт xп, однако принципиальных трудностей не имеет, посколь­ку может быть сведено к решению задачи линейного программи­рования. Покажем это. Пусть играт х пзадана платежной мат­рицейр =(а_ij),i = 1, 2, ...,т; j = 1, 2, ...,п.ИгрокАобладает стра­тегиямиА₁, А₂,…, А_m, игрокВ —стратегиямиВ₁, В₂, ..., B_n. Необ­ходимо определить оптимальные стратегииS^*_A = (p^*₁, р^*₂,…,p^*_т) иS^*_B = (q^*₁, q^*₂,…,q^*_n), гдеp^*_i, q^*_j —вероятности применения соот­ветствующих чистых стратегийА_i, В_j;

Оптимальная стратегия S^*_Aудовлетворяет следующему требо­ванию. Она обеспечивает игрокуАсредний выигрыш, не мень­ший, чем цена игры v,при любой стратегии игрокаВи выиг­рыш, равный цене игры v,при оптимальной стратегии игрокаВ. Без ограничения общности полагаем v > 0;этого можно добиться, сделав все элементыа_ij  0.Если игрокАприменяет смешанную стратегиюS^*_A = (p^*₁, р^*₂,…,p^*_т) против любой чистой стратегииB_j игрокаВ, то он получаетсредний выигрыш,илиматематическое ожидание выигрышаа_j =а_1jр₁ +а_2jр₂ + ... + а_mjр_m, j = 1, 2, ...,n(т.е. элементыj-го столбца платежной матрицы почленно умножаются на соответствующие вероятности стратегийА₁, А₂, ..., A_mи резуль­таты складываются).

Для оптимальной стратегии S^*_Aвсе средние выигрыши не меньше цены игры v,поэтому получаем систему неравенств:

(5.1.6.1)

Каждое из неравенств можно разделить на число v > 0.Введем новые переменные:

(5.1.6.2)

Тогда система (5.6.1)примет вид:

(5.1.6.3)

Цель игрока А —максимизировать свой гарантированный вы­игрыш, т.е. цену игрыv.

Разделив на v  0равенствор₁ + p₂ +...+ р_m = 1,получаем, что переменныех_i (i=1,2,...,m) удовлетворяют условию:х₁ + х₂ +...+ x_т =1 /v.Максимизация цены игры vэквивалентна мини­мизации величины 1 / v,поэтому задача может быть сформулиро­вана следующим образом:определить значения переменных x_i0,i = 1, 2, ...,т, так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничени­ям (5.1.6.3)и при этом линейная функция

(5.1.6.4)

обращалась в минимум.Это задача линейного программирования. Решая задачу (5.1.6.3)—(5.1.6.4),получаем оптимальное решениеp^*₁, р^*₂,…,p^*_ти оптимальную стратегиюS^*_A.

Для определения оптимальной стратегии S^*_B = (q^*₁, q^*₂,…,q^*_n) следует учесть, что игрокВстремится минимизировать гаранти­рованный выигрыш, т.е. найти. Переменныеq₁, q₂,…,q_nудовлетворяют неравенствам

(5.1.6.5)

которые следуют из того, что средний проигрыш игрока Вне пре­восходит цены игры, какую бы чистую стратегию не применял игрокА.

Если обозначить

(5.1.6.6)

то получим систему неравенств:

(5.1.6.7)

Переменные у_j (j = 1, 2, ...,n) удовлетворяют условиюy₁+ y₂ + …+ y_п = 1 / v.

Игра свелась к следующей задаче.

Определить значения переменных у_j > 0, j = 1, 2, ..., п, которые

удовлетворяют системе неравенств (5.1.6.7) и максимизируют линей­ную функцию

(5.1.6.8)

Решение задачи линейного программирования (5.1.6.6), (5.1.6.7) определяет оптимальную стратегиюS^*_B = (q^*₁, q^*₂,…,q^*_n). При этом цена игры

(5.1.6.9)

Составив расширенные матрицы для задач (5.1.6.3), (5.1.6.4)и(5.1.6.7), (5.1.6.8),убеждаемся, что одна матрица получилась из другой транспонированием:

Таким образом, задачи линейного программирования (5.1.6.3), (5.1.6.4)и (5.1.6.7), (5.1.6.8)являются взаимно-двойственными. Очевид­но, при определении оптимальных стратегий в конкретных зада­чах следует выбрать ту из взаимно-двойственных задач, решение которой менее трудоемко, а решение другой задачи найти с по­мощью теорем двойственности.