5.1.5. Геометрическая интерпретация игры 2х2

Решение игры 2х2допускает наглядную геометрическую ин­терпретацию. Пусть игра задана платежной матрицейР = (а_ij), i, j = 1, 2.По оси абсцисс (рис. 1)отложим единичный отрезокА₁А₂; точкаA₁ (x = 0) изображает стратегиюА₁, а все промежуточ­ные точки этого отрезка —смешанные стратегииS_Aпервого иг­рока, причем расстояние отS_Aдо правого конца отрезка —это вероятностьр₁стратегииА₁, расстояние до левого конца —веро­ятностьp₂стратегииА₂.На перпендикулярных осях I—Iи II—II откладываем выигрыши при стратегияхА₁иА₂соответственно. Если 2-й игрок примет стратегиюВ₁, то она дает выигрышиа₁₁иа₂₁на осях I—Iи II—II,соответствующие стратегиямА₁иА₂. Обозначим эти точки на осях I—Iи II—IIбуквойВ₁.Средний выигрышv₁, соответствующий смешанной стратегииS_A, опреде­ляется по формуле математического ожиданияv₁ = а₁₁р₁ + а₂₁р₂и равен ординате точкиМ₁, которая лежит на отрезкеВ₁В₁и имеет абсциссуS_A (рис. 5.1.5.1).

Рис. 5.1.5.1Рис. 5.1.5.2

Аналогично строим отрезок В₂В₂, соответствующий примене­нию вторым игроком стратегииВ₂(рис. 5.1.5.2).При этом средний выигрышv₂ = а₁₂р₁ + а₂₂р₂— ордината точкиМ₂.

В соответствии с принципом минимакса оптимальная страте­гия S^*_Aтакова, что минимальный выигрыш игрокаА(при наи­худшем поведении игрокаВ) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 5.1.5.3),показывают минимальный выигрыш игрокаАпри использовании им любой смешанной стратегии (на участкеB₁N —против стратегииВ₁,на участкеNB₂ —против стратегииB₂).Оптимальную стратегиюS^*_A = (p^*₁, р^*₂) определяет точкаN,в которой минимальный выигрыш достигает максимума; ее ордината равна цене игрыv. На рис. 5.1.5.3обозначе­ны также верхняя и нижняя цены игрыи.

Применим геометрический метод для решения следующей за­дачи.

Пример 5.1.5.1.Решить графически игру, заданную платежной матрицей

.

Рис. 5.1.5.3Рис. 5.1.5.4

Решение.Откладываем по оси абсцисс (рис. 5.1.5.4)единичный отрезокА₁А₂.На вертикальной осиI—Iоткладываем отрезки:а₁₁ = 1,5,соответствующий стратегииВ₁, и а₁₂ = 3,соответствующий стратегииВ₂. На вертикальной оси II—IIотрезока₂₁ = 2соответ­ствует стратегииВ₁, отрезока₂₂ = 1соответствует стратегииВ₂ (см.рис. 5.1.5.4).Нижняя цена игры =а₁₁ = 1,5.Верхняя цена игры =а₂₁ = 2,седловая точка отсутствует. Из рис. 4видно, что абсцисса точки Nопределяет оптимальную стратегию S^*_A,а орди­ната —цену игры v.Точка Nявляется точкой пересечения прямыхВ₁В₁и В₂В₂.Уравнение прямойВ₁В₁, проходящей через точ­ки (0; 1,5)и (1;2):

Уравнение прямой В₂В₂, проходящей через точки (0; 3)и (1;1):

Точка пересечения прямых является решением системы:

или х = 0,6;у = 1,8,т.е. N (0,6; 1,8).

Таким образом, р^*₁ = 0,6,р^*₂ = 1 — 0,6 = 0,4;оптимальная стратегияS^*_A = (0,6; 0,4), цена игрыv = 1,8.

­

Рис. 5.1.5.5

Геометрически мо­жно также определить оптимальную страте­гию игрока В, если поменять местами иг­роковАиВи вместо максимума нижней границыА₂МА₁в соот­ветствии с принципом минимакса (рис. 5.5.5) рассмотреть минимум верхней границы.

Абсцисса точки М определяетq^*₂в оптимальной стратегии игрокаВ,ордината этой точки —цена игры. ПрямаяА₁А₁, проходящая через точки (0; 1,5) и (1; 3),удовлетворяет уравнению

Прямая А₂А₂, проходящая через точки (0; 2)и (1; 1),удовле­творяет уравнениюу =—х +2.

Координаты их точки пересечения М —это решение системы уравнений:

откуда х = 0,2;у = 1,8,т.е.q^*₂ = 0,2,q^*₁ = 1— q^*₂ = 0,8,х =у = 1,8, S^*_B = (0,8; 0,2).

Оптимальное решение игры найдено.

Рис. 5.1.5.6Рис. 5.1.5.7

Из решения задачи в примере 4следует, что геометрически можно оп­ределять оптимальную стратегию как игрокаА,так и игрокаB, в обоих случаях используется принцип минимакса, но во втором случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум. Если платежная мат­рица содержит отрицательные числа, то для графического решения задачи лучше перейти к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число. Решение игры при этом не изменится, а цена игры увеличится на это число. В примере 4 платежная матрица не имела седловой точки ().

При наличии седловой точки графическое решение дают вариан­ты, изображенные на рис. 5.5.6и 5.5.7.На рис. 5.1.5.6наибольшей орди­натой на ломанойB₁NB₂обладает точкаB₂, поэтому оптимальной является чистая стратегияА₂для игрокаА (В₂ —для игрокаВ), т.е. оптимальное решение:S^*_A = (0; 1),S^*_B = (0; 1).Игра имеет седловую точкуа₂₂ = v.

Чистая стратегия В₂(рис. 5.1.5.7)не выгодна для игрока В,по­скольку при любой стратегии игрокаАона дает последнему больший выигрыш, чем чистая стратегияВ₁. На основании принципа минимакса выделим прямуюВ₁В₁и на ней точкуВ₁с наибольшей ординатой на оси I—I.Чистая стратегияА₂является оптимальной для игрокаА, а чистая стратегияВ₁ —для игрокаВ.

Оптимальное решение: S^*_A =(0;1),S^*_B =(1;0), цена игрыv=а₂₁= =,т.е. имеется седловая точка.

Графический метод можно применять при решении игры 2хnитх 2.