3. Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами с неравномерной по времени интенсивностью потребления

Существует разновидность детерминированной задачи, когда размер заказа не является постоянным, но заранее известно количество поставок за период Т (например, одна поставка в месяц, 12  в год), такую политику называют (n)- политикой. Применяется она в тех же случаях, что и (Q,P)- политика, только исключается упрощение, что уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, т.е. является функцией времени. Задача сводится к определению моментов времени оформления заказаt_i , где i = 1, 2,…,n-1, для которых суммарные издержки МТС минимальны, и соответствующих размеров поставляемых партий Q_i .

Построим математическую модель такой задачи. Введем следующие упрощения реальной ситуации:

1. уровень запасов убывает с переменной интенсивностью, т.е интенсивность потребления есть функция от времени , и в тот момент, когда все запасы материала исчерпаны, подается заказ на поставку новой партии в объемеQ_i;

2. выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю и уровень запасов восстанавливается до значения, равного Q_i;

3. накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, не зависят от объема партии и равны постоянной величине С_Д;

4. затраты на хранение единицы запаса в единицу времени постоянны и равны С_Х.

Введем в рассмотрение функцию , которая определяет общее количество использованного материала к моменту времениt₁.

Если =const, то. В общем случае для неравномерной интенсивности потребления необходимо определить, в какие моменты данного периода Т следует подавать заказ и каковы должны быть размеры партий, чтобы суммарные издержки хранения и осуществления доставки были минимальными.

Задача рассматривается при условии, что число партий n, приобретаемых за период Т, известно заранее (принято, например, подавать заказы на поставку раз в месяц). Обозначим моменты прибытия партий через t₀, t₁, t₂,..., t_i,..., t_n-1. Начальный момент t₀=0, остальные моменты неизвестны. На рис. 2.26 видно, что размеры партий в моменты времени t_i-1 и t_i должны быть соответственно:

,

(2.25)

Стоимость хранения материала за интервалы [t_i-1, t_i] и [t_i, t_i+1] пропорциональна площади криволинейных треугольников I и II. Введем интеграл (2.26), который выражает разность площадей прямоугольника с ординатой V(t_i) и криволинейной трапеции с основанием t_i – t_i-1, т.е. интеграл равен площади криволинейного треугольника I.

Рис.2.26. Функция изменения количества использованного материала

Суммарные издержки за интервал времени [0, Т]:

Здесь t_n = T. Заметим, что величины nС_Д и постоянны. Задача сводится к определению таких неизвестных t₁, t₂,..., t_i,..., t_n-1, для которых достигается минимум суммарных издержек S, что аналогично минимуму суммы

Последнее выражение достигает минимума, если частные производные относительно t₁, t₂,..., t_i,..., t_n-1 равняются нулю:

или же

. (2.27)

Здесь – производная функции использования материалов в момент времениt_i, i =1,2,...n-1. Таким образом, мы получили систему n-1 уравнений с n-1 неизвестными, решив которую можно найти неизвестные, т. е. моменты подачи и использования заказа, минимизирующие общие издержки. Решение системы уравнений (2.27) можно осуществить разными методами, например методом Гаусса.

Размеры поставляемых партий определяются из рекуррентных соотношений (2.25).

О числе заказов на период Т можно сказать, что выбор n следует производить исходя из соотношений С_Д/С_Х. Действительно, суммарные издержки

достигают минимума, если или