Лекция 2.5.6. Задача замены оборудования

4. Классификация задач замены оборудования

К задачам управления запасами тесно примыкают задачи замены оборудования, также решаемые либо в подсистеме УМТС, либо в подсистеме управления обслуживанием и ремонтом оборудования.

Технические характеристики любой машины и оборудования вследствие старения, износа и других причин со временем ухудшаются. Это приводит к необходимости замены оборудования с целью как уменьшения суммарных затрат на эксплуатацию, так и предупреждения его полного выхода из строя (отказа).

Задачи замены оборудования по наличию того или иного признака можно классифицировать следующим образом.

По характеру замены оборудования:

• по замене оборудования длительного использования из-за неуклонно возрастающих с увеличением срока службы эксплуатационных затрат. В этих задачах определяется оптимальный срок службы оборудования, минимизирующий эксплуатационные затраты;

• по замене оборудования с целью предупреждения отказов (поломки). Требуется найти такое время замены, чтобы суммарные затраты были минимальны;

• по выбору оптимального плана предупредительного ремонта и профилактического обслуживания оборудования для уменьшения вероятности отказа.

По характеру учета затрат на оборудование на:

• дискретные. Расходы по ремонту и уходу за оборудованием производятся через некоторые интервалы времени;

• непрерывные. Расходы могут производиться в любой момент времени.

По выходу из строя оборудования на:

• детерминированные. Расходы по ремонту и уходу за оборудованием являются постоянными или известными функциями от времени;

• случайные. Расходы являются случайными функциями от времени.

По стратегии замены оборудования на:

• плановые. Если замена оборудования производится строго по плану с учетом соотношения затрат на ремонт и уход за оборудованием и эффекта, получаемого от эксплуатации оборудования;

• смешанные. Здесь придерживаются плановой стратегии замены оборудования, но если оборудование вышло из строя раньше запланированного срока, то оно заменяется.

По времени учета затрат на оборудование на задачи:

• с приведением;

• без приведения.

Если затраты на эксплуатацию оборудования осуществляются в разные сроки или они изменяются во времени, то следует привести затраты более поздних лет к расчетному году, в этом случае имеем задачу с приведением. В противном случае – без приведения.

4. Задачи замены оборудования длительного использования

Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Покупная цена равна S. Известны также затраты на эксплуатацию оборудования, производимые в течение 1,2,...,t,...,n периодов. Периоды, например, равны году.

Обозначим затраты, производимые в t-ый период через C_t. В результате старения балансовая цена оборудования S_t непрерывно падает и зависит от периода списания. Требуется определить период списания оборудования, чтобы затраты на единицу времени были минимальными.

Рассмотрим четыре случая (рис.2.31):

1.Дискретную задачу ,

.

2.Непрерывные задачи

а) с линейной зависимостью

б) с квадратичной зависимостью

в) с экспоненциальной зависимостью

b₀

C_t

C_t

b₀

C_t

b₀

S_t

S_t

S_t

t t t

a б в

Рис. 2.31. Зависимость эксплуатационных затрат (C_t) и балансовой стоимости оборудования (S_t) от времени:

а – линейная, б – квадратичная, в – экспоненциальная.

Рассмотрим дискретную задачу. Средние затраты за t периодов можно записать как

Чтобы затраты при замене оборудования черезt периодов были минимальными, естественно должно выполняться условие:

Y(t-1) > Y(t) < Y(t+1)

или

Выразим из (2.81)

(2.82)

Подставив (2.82) в левую и правую части неравенств, получим:

Помножим левую часть на (t-1)/(t-1), центральную часть на (t²-1)/(t²-1), правую на (t+1)/(t+1) и сократим знаменатель:

Далее работаем с двумя неравенствами отдельно. В первом неравенстве сократим наt1 и после приведения получим

Во втором сократим наt+1 и после приведения

Окончательно получаем искомое выражение

Это условие при всех соотношениях между C_t и S_t является необходимым условием оптимальности, а так как C_t+1 > C_t и S_t+1 < S_t, то и достаточным условием.

Для непрерывных задач средние затраты примут вид

а)

б)

в)

Для минимизации приравняем первую производную к нулю.

а) Так как Y(t) = const, то оптимального момента времени нет.

б)

Таким образом, оптимального момента времени списания также нет, но издержки будут минимальными при a₂ = b₂.

в)

После преобразований

Решать это уравнение целесообразно численным методом, обозначив предварительно

Точка равенства этих двух выражений и даст искомый момент времени t, при котором необходимо произвести замену оборудования.