Задание на дом:

Учить определения и теоремы из лекции "Отображения".

010302 Математический анализ Толстиков а.В.

Курс 1. Семестр 1. Практическое занятие 2. Отображения

Теоретические вопросы

Функциональные отношения. Отображения. область определения отображения, область значений отображения, равенство отображения, композиция отображений и ее свойства, единичное отображения , график отображения, граф отображения. Виды отображений. Отображения на (сюръективное отображение), взаимно-однозначное отображение в (инъекция), взаимно-однозначное отображение на (биекция). Взаимно обратные отображения. Обратное отображение и условие его существования.

Задачи для решения на занятии и дома

1. Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}. Для каждого из данных бинарных отношений f установить является ли оно отображением множества A в B? Найти E(f). Построить граф f .Установить вид отображения f. Если f не является отображением, то сузить f так, чтобы сужение стало отображением.

1. f = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 3)}; b) f = {(1, 1), (4, 2), (5, 1), (3, 3), (2, 4)}; c) f = {(3, 2), (4, 2), (5, 1), (3, 3), (2, 3), (1, 4)}; c) f = {(1, 3), (2, 4), (5, 3), (3, 2), (4, 1)}; d) f = {(1, 3), (3, 4), (5, 3), (4, 2), (4, 3).

2. Для каждого из данных бинарных отношений f установить является ли оно отображением множества R в R? Найти E(f). Построить график. Установить вид отображения f. Если f не является отображением, то сузить f так, чтобы сужение стало отображением.

1. f = {(x, y) R² xy = 1}; b) f = {(x, y) R² y³ = x²  2xy 7}; c) f = {(x, y) R² y = 2sin(2x  1} 1; d) f = {(x, y) R² y = 2arcctgx}; e) f = {(x, y) R²  y  =  x }; f) f = {(x, y) R² y = x³ + 1}.

3. Докажите, что каждое бинарное отношение f является отображением. Найти E(f) и образ множества f(A). Является ли f сюръекцией? Является ли f инъекцией?

1. f = {(x, y) R² y = 2arcctgx}, A = [0, 1]; b) f = {(x, y) R² y = x³ + 1}, A = [-2, 1]; c) f = {(x, y) R² y = 2cos x +1}, A = [0, /2]; d) f = {(x, y) R⁺ R  y = ln x}, A = (0, e²); e) f = {(x, y) R² y = 2^{x - 1}  3}, A = [1, 2].

4. Для данных множеств X и Y построить такие отображения f, g , h , e X  Y, что f  не инъекция, не сюръекция, g  инъекция, но не сюръекция, h  сюръекция, но не инъекция, e  биекция.

a) X = Y = R; b) X = R⁺{0}, Y = R; c) X = R⁺, Y = R⁺; d) X = R, Y = (0, 1); e) X = [0, 1], Y = (1, 2); c) X = (0, 2), Y = R.

5. Для данных отображений f и g R  R найти композиции , .

1. f : x  sin 2x, g : x  arctg x; b) f : x  x² + 1, g : x  x³ + 1; c) f : x  2^x, g : x  log₄( x  +1); d) f : x  x², g : x  cos x; e) f : x  tg 2x, g : x  arctg x.

1.4.6. Для каких отображений f существует обратное отображение f ^1. Найти f ^1, построить графики f и f ^1. Если обратное отображение f ^1 не существует, то так сузить X и Y , чтобы f стало обратимым.

1. f : x  sin 2x, X = Y = R; b) g : x  arctg x, X = Y = R; c) f : x  x³ + 1, X = Y = R; d) f : x  2^x; X = Y = R; e) f : x  log₄( x  +1); X = Y = R; f) f : x  1/x; X = Y = R\{0}; g) f : x  (x  1)/(x +2), X = R\{-2}, Y = R.

7. Пусть X = R², Y = R² ,f - преобразование симметрии плоскости xOy относительно оси Oy, g - преобразование гомотетии плоскости xOy с центром в начале координат и коэффициентом k =2. Найти образы множества при преобразованиях f , g, , .

1. A = {(x, y) R² 2x  3y = 6}; b) A = {(x, y) R² (x  3)² + (y  1)² = 4}; c) A = {(x, y) R² y = (x  4)²}.

8. Пусть A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}. a) Перечислить все отображения множества A в B.Сколько среди них сюръекций? b) Перечислить все отображения множества B в A. Сколько среди них инъекций? c) Перечислить все отображения множества A в A. Сколько среди них биекций?

9. Пусть  A  = m,  B  = n.

1. Сколько существует различных отображений множествами A в B?

2. При каких n и m существует инъекции A в B? Сколько существует различных инъекций?

3. При каких n и m существует биекции A в B? Сколько существует различных биекций A в B?

4. При каких n и m существует обратимые отображения A в B? Сколько существует различных обратимых отображений A в B?

5. При каких n и m существует сюръекции A в B? Сколько существует различных сюръекций^*?

1.4.10. Постройте алгоритм, который позволяет по матрице бинарного отношения определить является оно отображением и установить вид отображения.

1.4.11. Постройте алгоритм, который позволяет создавать случайную матрицу бинарного отношения, имеющего заданный вид.