3. Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23).

Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, рав-

ное длине отрезка АВ, взятое со знаком «+», если направление отрезка АВ

совпадает с направление оси l , и со знаком «–», если эти направления Рис.23. Рис.24.

противоположны.

Рассмотрим теперь произвольный вектор , определяемый связанным вектором . Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис.24).

Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение: pr_l = CD.

Основные свойства проекций:

1. Проекция вектора на какую-либо ось l равна произведению Рис.25.

д лины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис.25)

pr_l = | | cosα . Рис.26.

2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций

векторов на эту же ось. Например, pr_l (a + b + c) = pr_l a + pr_l b + pr_l c (рис.26).

3. Скалярное произведение векторов

Пусть имеем два вектора а и b. Скалярным произведением вектора а

н а вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) или а ∙ b, опре- а)

деляемое равенством

(а, b) = | а | ∙ | b | ∙ cos φ =| а | ∙ | b | ∙ cos (а^b), (1)

г де φ, или в иной записи (а^b), есть угол между векторами а и b (рис.27а). б)

Т.к. | b | ∙ cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, то

(а, b) = | а | ∙ pr_аb (рис. 27б) и, аналогично, (а, b) = | b | ∙ pr_b a (рис. 27в), (2)

Т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, в)

умноженной на проекцию на него другого вектора. Рис.27.

В случае, если один из векторов а или b – нулевой, (а, b) = 0 .

5.1. Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны (а b). Т.к. направление нулевого вектора неопределенно, его можно считать ортогональным любому вектору. Поэтому а b  (а, b ) = 0 .

• Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.

2. Скалярное произведение коммутативно (а, b) = (b, а ) . (3)

• Справедливость утверждения вытекает из формулы (1), если учесть четность функции cos φ: cos (- φ) = cos φ .

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения: (а + b, c) = (a, c) + (b, c) .

• Действительно,

(а + b, c) = | c | ∙ pr_c(а + b) = | c | ∙ (pr_c а + pr_c b) = | c | ∙ pr_c а + | c | ∙ pr_c b = (а, c) + (b, c) .

4. Ч исловой множитель λ можно выносить за знак скалярного произведения:

(λа, b) = (a, λb) = λ(a, b) .

• Действительно, пусть λ > 0. Тогда

λ (а, b) = λ | а | ∙ | b | ∙ cos (а^b);

(λ а, b) = | λ | ∙ | а | ∙ | b | ∙ cos (λа^b) = λ | а | ∙ | b | ∙ cos (а^b),

т.к. при λ > 0 углы (а^b) и (λа^b) равны (рис.28). Рис.28.

Аналогично рассматривается случай λ < 0.

При λ = 0 свойство 4 очевидно.