16

Введение в аналитическую геометрию

1. Прямоугольные декартовы координаты

1.1. Координатная ось

Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L. По этой прямой мы можем перемещаться в одном из двух противоположных направлений. Выбор любого из них будем называть ориентацией прямой L.

Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью.

На рисунке ориентация указывается стрелкой (рис.1).

Фиксируем на оси некоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, положив по определению его длину равной единице (рис.2).

Пусть М – произвольная точка оси . Поставим этой точке в соответствие число х по следующему правилу: х равно расстоянию между точками О и М, взятому со знаком «+» или «–» в зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис.3).

Рис.1. Рис.2. Рис.3.

Ось с точкой начала отсчета О и масштабным отрезком а называется координатной

осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М.

Обозначение: М(х).

1.2. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Пусть П – произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L₁ и L₂. Зададим на каждой из прямых ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О ( рис. 4 ).

Рис.4. Рис.5. Рис.6.

Назовем одну из координатных осей осью абсцисс ( осью Ох ), другую – осью ординат

( осью Оу ) ( рис. 5 ). Точка О называется началом координат.

Пусть М – произвольная точка плоскости П ( рис. 6 ). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел ( х, у ) по следующему правилу: х – координата точки М_х на оси Ох, у – координата точки М_у на оси Оу.

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми координатами точки М ; при этом х называется ее абсциссой , а у - ординатой. О бозначение: М ( х, у )

Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию,

говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декар-

това система координат Оху. Координатные оси разбива-

ют плоскость на четыре части, называемые четвертями или

квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти

квадранты нумеруются ( рис. 7 ). Рис. 7

Замечание. Масштабные отрезки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.