Задание № 4
Вычислить таблицу функции f(y) для ряда равноотстоящих (с шагом h) значений аргумента y, принадлежащих отрезку [a, b].
Точность, с которой требуется получить результат, указана для каждой функции.
Отчёт по заданию должен содержать: 1) обоснование избранного способа вычисления интеграла, 2) вычисления, 3) ответ [таблица функции f(y)], 4) контроль полученной таблицы с помощью разделённых разностей или путём вычисления интеграла с использованием упомянутых выше математических пакетов.
Вариант А
Вариант |
Интеграл |
k |
a |
b |
h |
Точность |
1 |
|
1,0 |
0,5 |
1,0 |
0,05 |
10-5 |
2 |
- " - |
1,2 |
0,5 |
1,0 |
0,05 |
10-5 |
3 |
- " - |
1,4 |
0,5 |
1,0 |
0,05 |
10-5 |
4 |
- " - |
1,6 |
0,5 |
1,0 |
0,05 |
10-5 |
5 |
- " - |
1,0 |
1,0 |
1,5 |
0,05 |
10-5 |
6 |
- " - |
1,2 |
1,0 |
1,5 |
0,05 |
10-5 |
7 |
- " - |
1,4 |
1,0 |
1,5 |
0,05 |
10-5 |
8 |
- " - |
1,6 |
1,0 |
1,5 |
0,05 |
10-5 |
9 |
- " - |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
0,05 |
10-5 |
10 |
- " - |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
0,05 |
10-5 |
11 |
- " - |
1,4 |
1,5 |
2,0 |
0,05 |
10-5 |
12 |
- " - |
1,6 |
1,5 |
2,0 |
0,05 |
10-5 |
13 |
|
0,8 |
1 |
2 |
0.1 |
10-6 |
14 |
-"- |
0,9 |
1 |
2 |
0.1 |
10-6 |
15 |
-"- |
1,0 |
1 |
2 |
0.1 |
10-6 |
16 |
-"- |
1,1 |
1 |
2 |
0.1 |
10-6 |
17 |
-"- |
0,8 |
2 |
3 |
0.1 |
10-6 |
18 |
-"- |
0,9 |
2 |
3 |
0.1 |
10-6 |
19 |
-"- |
1,0 |
2 |
3 |
0.1 |
10-6 |
20 |
-"- |
1,1 |
2 |
3 |
0.1 |
10-6 |
21 |
-"- |
0,8 |
3 |
4 |
0.1 |
10-6 |
22 |
-"- |
0,9 |
3 |
4 |
0.1 |
10-6 |
23 |
-"- |
1,0 |
3 |
4 |
0.1 |
10-6 |
24 |
-"- |
1,1 |
3 |
4 |
0.1 |
10-6 |
Вариант Б
Вариант |
Интеграл |
k |
a |
b |
h |
Точность |
1 |
|
0,8 |
0 |
1 |
0,1 |
10-6 |
2 |
-"- |
0,85 |
0 |
1 |
0,1 |
10-6 |
3 |
-"- |
0,9 |
0 |
1 |
0,1 |
10-6 |
4 |
-"- |
0,95 |
0 |
1 |
0,1 |
10-6 |
5 |
-"- |
0,8 |
1 |
2 |
0,1 |
10-6 |
6 |
-"- |
0,85 |
1 |
2 |
0,1 |
10-6 |
7 |
-"- |
0,9 |
1 |
2 |
0,1 |
10-6 |
8 |
-"- |
0,95 |
1 |
2 |
0,1 |
10-6 |
9 |
-"- |
0,8 |
2 |
3 |
0,1 |
10-6 |
10 |
-"- |
0,85 |
2 |
3 |
0,1 |
10-6 |
11 |
-"- |
0,9 |
2 |
3 |
0,1 |
10-6 |
12 |
-"- |
0,95 |
2 |
3 |
0,1 |
10-6 |
13 |
|
0,6 |
1,0 |
1,3 |
0,03 |
10-6 |
14 |
-"- |
0,7 |
1,0 |
1,3 |
0,03 |
10-6 |
15 |
-"- |
0,8 |
1,0 |
1,3 |
0,03 |
10-6 |
16 |
-"- |
0,8 |
1,0 |
1,3 |
0,03 |
10-6 |
17 |
-"- |
0,6 |
1,3 |
1,6 |
0,03 |
10-6 |
18 |
-"- |
0,7 |
1,3 |
1,6 |
0,03 |
10-6 |
19 |
-"- |
0,8 |
1,3 |
1,6 |
0,03 |
10-6 |
20 |
-"- |
0,8 |
1,3 |
1,6 |
0,03 |
10-6 |
21 |
-"- |
0,6 |
1,6 |
1,9 |
0,03 |
10-6 |
22 |
-"- |
0,7 |
1,6 |
1,9 |
0,03 |
10-6 |
23 |
-"- |
0,8 |
1,6 |
1,9 |
0,03 |
10-6 |
24 |
-"- |
0,8 |
1,6 |
1,9 |
0,03 |
10-6 |
Вариант В
Вариант |
Интеграл |
k |
a |
b |
h |
Точность |
1 |
|
0,4 |
2,5 |
3 |
0,05 |
10-6 |
2 |
-"- |
0,45 |
2,5 |
3 |
0,05 |
10-6 |
3 |
-"- |
0,5 |
2,5 |
3 |
0,05 |
10-6 |
4 |
-"- |
0,55 |
2,5 |
3 |
0,05 |
10-6 |
5 |
-"- |
0,4 |
3,0 |
3,5 |
0,05 |
10-6 |
6 |
-"- |
0,45 |
3,0 |
3,5 |
0,05 |
10-6 |
7 |
-"- |
0,5 |
3,0 |
3,5 |
0,05 |
10-6 |
8 |
-"- |
0,55 |
3,0 |
3,5 |
0,05 |
10-6 |
9 |
-"- |
0,4 |
3,5 |
4,0 |
0,05 |
10-6 |
10 |
-"- |
0,45 |
3,5 |
4,0 |
0,05 |
10-6 |
11 |
-"- |
0,5 |
3,5 |
4,0 |
0,05 |
10-6 |
12 |
-"- |
0,55 |
3,5 |
4,0 |
0,05 |
10-6 |
13 |
|
0,7 |
0,1 |
0,4 |
0,03 |
10-5 |
14 |
-"- |
0,9 |
0,1 |
0,4 |
0,03 |
10-5 |
15 |
-"- |
1,1 |
0,1 |
0,4 |
0,03 |
10-5 |
16 |
-"- |
1,3 |
0,1 |
0,4 |
0,03 |
10-5 |
17 |
-"- |
0,7 |
0,4 |
0,7 |
0,03 |
10-5 |
18 |
-"- |
0,9 |
0,4 |
0,7 |
0,03 |
10-5 |
19 |
-"- |
1,1 |
0,4 |
0,7 |
0,03 |
10-5 |
20 |
-"- |
1,3 |
0,4 |
0,7 |
0,03 |
10-5 |
21 |
-"- |
0,7 |
0,7 |
1,0 |
0,03 |
10-5 |
22 |
-"- |
0,9 |
0,7 |
1,0 |
0,03 |
10-5 |
23 |
-"- |
1,1 |
0,7 |
1,0 |
0,03 |
10-5 |
24 |
-"- |
1,3 |
0,7 |
1,0 |
0,03 |
10-5 |
Вариант Г
Вариант |
Интеграл |
k |
a |
b |
h |
Точность |
1 |
|
1,1 |
4,2 |
4,4 |
0,02 |
10-6 |
2 |
-"- |
1,2 |
4,2 |
4,4 |
0,02 |
10-6 |
3 |
-"- |
1,3 |
4,2 |
4,4 |
0,02 |
10-6 |
4 |
-"- |
1,4 |
4,2 |
4,4 |
0,02 |
10-6 |
5 |
-"- |
1,1 |
4,4 |
4,6 |
0,02 |
10-6 |
6 |
-"- |
1,2 |
4,4 |
4,6 |
0,02 |
10-6 |
7 |
-"- |
1,3 |
4,4 |
4,6 |
0,02 |
10-6 |
8 |
-"- |
1,4 |
4,4 |
4,6 |
0,02 |
10-6 |
9 |
-"- |
1,1 |
4,6 |
4,8 |
0,02 |
10-6 |
10 |
-"- |
1,2 |
4,6 |
4,8 |
0,02 |
10-6 |
11 |
-"- |
1,3 |
4,6 |
4,8 |
0,02 |
10-6 |
12 |
-"- |
1,4 |
4,6 |
4,8 |
0,02 |
10-6 |
13 |
|
0,2 |
2,6 |
2,8 |
0,02 |
10-6 |
14 |
-"- |
0,25 |
2,6 |
2,8 |
0,02 |
10-6 |
15 |
-"- |
0,3 |
2,6 |
2,8 |
0,02 |
10-6 |
16 |
-"- |
0,35 |
2,6 |
2,8 |
0,02 |
10-6 |
17 |
-"- |
0,2 |
2,8 |
3,0 |
0,02 |
10-6 |
18 |
-"- |
0,25 |
2,8 |
3,0 |
0,02 |
10-6 |
19 |
-"- |
0,3 |
2,8 |
3,0 |
0,02 |
10-6 |
20 |
-"- |
0,35 |
2,8 |
3,0 |
0,02 |
10-6 |
21 |
-"- |
0,2 |
3,0 |
3,2 |
0,02 |
10-6 |
22 |
-"- |
0,25 |
3,0 |
3,2 |
0,02 |
10-6 |
23 |
-"- |
0,3 |
3,0 |
3,2 |
0,02 |
10-6 |
24 |
-"- |
0,35 |
3,0 |
3,2 |
0,02 |
10-6 |
Пример 2.4. Вычислить интеграл
с четырьмя верными знаками после запятой для значений y [2.6, 3] с шагом h = 0.04.
Ввиду чётности подынтегральной функции интеграл приводится к виду
и вычисляется по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности с весом (1 – x)1/2
где
Если
n
чётное, то, используя чётность
подынтегральной функции, можно записать
Для того чтобы выбрать число узлов в квадратурной формуле, вычислим f(3) при n = 10, 12 и 14 (следует ожидать, что значение параметра y =3 является самым плохим). Вычисления ведём с одним запасным знаком и заносим в таблицу (см. следующую стр.). Значения интеграла при соответствующем числе узлов получается как сумма произведений чисел, стоящих в четвёртом столбце [cos(3xk)] на числа, стоящие в последнем столбце.
Поскольку значения интеграла при n
= 12 и n
= 14 совпали с требуемой точностью,
все остальные значения f(y)
вычисляем с 12 узлами. При этом для всех
следующих интегралов достаточно
вычислить лишь xky
и cos(xky).
Значения
уже
вычислены.
n |
k |
xk |
cos(3xk) |
xk2 |
xk2 + 0.3 |
|
10 |
1 |
0.98769 |
0.98410 |
0.97553 |
1.27553 |
0.24630 |
2 |
0.89100 |
0.89220 |
0.79388 |
1.09388 |
0.28720 |
|
3 |
0.70711 |
0.52314 |
0.50000 |
0.80000 |
0.39270 |
|
4 |
0.45399 |
0.20731 |
0.20611 |
0.50611 |
0.62073 |
|
5 |
0.15643 |
0.89189 |
0.02447 |
0.32447 |
0.96822 |
|
|
f10(3) = 0.28818 |
|||||
12 |
1 |
0.99144 |
0.98604 |
0.98295 |
1.28295 |
0.20406 |
2 |
0.92388 |
0.93234 |
0.85355 |
1.15355 |
0.22695 |
|
3 |
0.79336 |
0.72380 |
0.62942 |
0.92942 |
0.28168 |
|
4 |
0.60876 |
0.25271 |
0.37059 |
0.67059 |
0.39040 |
|
5 |
0.38268 |
0.41027 |
0.14644 |
0.44644 |
0.58641 |
|
6 |
0.13052 |
0.92432 |
0.01704 |
0.31704 |
0.82576 |
|
|
f12(3) = 0.28851 |
|||||
14 |
1 |
0.99371 |
0.98715 |
0.98746 |
1.28746 |
0.17430 |
2 |
0.94388 |
0.95235 |
0.89091 |
1.19091 |
0.18843 |
|
3 |
0.84672 |
0.82453 |
0.71693 |
1.01693 |
0.22066 |
|
4 |
0.70711 |
0.52314 |
0.50000 |
0.80000 |
0.28050 |
|
5 |
0.53203 |
0.02529 |
0.28306 |
0.58306 |
0.38486 |
|
6 |
0.33028 |
0.54798 |
0.10908 |
0.40908 |
0.54854 |
|
7 |
0.11196 |
0.94412 |
0.01254 |
0.31254 |
0.71798 |
|
|
f14(3) = 0.28854 |
|||||
Приведём в качестве примера два результата вычислений
y |
xky |
cos(xky) |
y |
xky |
cos(xky) |
2.60 |
2.57774 |
0.84520 |
2.64 |
2.61740 |
0.86573 |
2.40209 |
0.73880 |
2.43904 |
0.76320 |
||
2.06274 |
0.47234 |
2.09447 |
0.50006 |
||
1.58278 |
0.01198 |
1.60713 |
0.03633 |
||
0.99497 |
0.54453 |
1.01028 |
0.53162 |
||
0.33935 |
0.94297 |
0.34457 |
0.94122 |
||
f(2.6) = 0.62012 |
f(2.64) = 0.58406 |
||||
И т.д. Полученные результаты полезно проверить таблицей разделённых разностей.
yi |
f(yi) |
f(yi,yi+1) |
f(yi,yi+1,yi+2) |
2.6 |
0.6201 |
|
|
|
|
-0.9 |
|
2.64 |
0.5841 |
|
0.15625 |
|
|
-0.8875 |
|
2.68 |
0.5486 |
|
0.1875 |
|
|
-0.8725 |
|
2.72 |
0.5137 |
|
0.21875 |
|
|
-0.855 |
|
2.76 |
0.4795 |
|
0.1875 |
|
|
-0.84 |
|
2.8 |
0.4459 |
|
0.1875 |
|
|
-0.825 |
|
2.84 |
0.4129 |
|
0.25 |
|
|
-0.805 |
|
2.88 |
0.3807 |
|
0.21875 |
|
|
-0.7875 |
|
2.92 |
0.3492 |
|
0.25 |
|
|
-0.7675 |
|
2.96 |
0.3185 |
|
0.21875 |
|
|
-0.75 |
|
3 |
0.2885 |
|
|