2.2. Нестандартные формулы

Нестандартными называются формулы, предназначенные для вычисления интегралов от функций, имеющих особенности.

Разрывные функции. Пусть функция и её производные кусочно-непрерывны; в точке разрыва подразумевается существование односторонних производных всех требуемых порядков. В этом случае обеспечить требуемую точность интегрирования можно следующим образом.

Разобьём отрезок [a, b] на более мелкие отрезки так, чтобы на этих отрезках функция и некоторое число p её низших производных были непрерывны; на концах этих отрезков в качестве значений функции и производных возьмём соответствующие односторонние пределы.

Представим интеграл в виде суммы интегралов по отрезкам непрерывности. Применим к каждому отрезку квадратурную формулу порядка точности q, q  p. Если одновременно и одинаково сгущать сетки на всех отрезках непрерывности, то порядок точности ответа будет q, как и для непрерывных достаточно гладких функций. В этом случае методом Рунге можно повысить порядок точности до р.

Пример 2.2. Рассмотрим

Здесь подынтегральная функция непрерывная и гладкая, но вторая производная имеет разрыв при х = 0. Если для этой функции выделить отрезки непрерывности ( 1  х  0 и 0  х  2), то формула Симпсона даёт точный ответ.

Нелинейные формулы. В случае интегрирования быстропеременных функций стараются найти выравнивающие переменные, в которых уже два свободных параметра обеспечивали бы удовлетворительную аппроксимацию. На отрезке [a, b] строят сетку и на каждом интервале сетки функцию заменяют нелинейной интерполяционной функцией, в которой параметры выражены через табличные значения функции. Например, если функция близка к экспоненте, то

Если на каждом интервале проинтегрировать это выражение вместо исходной функции, то получим обобщённую квадратурную формулу

(2.25)

Отметим, что второй множитель под знаком суммы является среднелогарифмическим значением функции на элементарном шаге.

Переменный предел интегрирования. Пусть надо вычислить

В принципе, при каждом значении х его можно рассматривать как интеграл с постоянными пределами и вычислить одним из приведённых выше способов. Однако если нужно определить интеграл для очень многих значений х, то это невыгодно. Целесообразнее выбрать сетку и численным интегрированием высокой точности составить таблицу значений интеграла на этой сетке F_n = F(x_n). Тогда

Несобственные интегралы. Для интегралов с бесконечными пределами имеется несколько приёмов вычисления.

Приём 1 – введение такой замены переменных, чтобы превратить пределы интегрирования в конечные. Например, для интеграла

замена x = a/(1 – t) превращает полупрямую [a, ) в отрезок [0, 1]. Если после преобразования подынтегральная функция с некоторым числом производных остаётся ограниченной, то можно находить интегралы стандартными численными методами.

Как правило, возможные преобразования "напрашиваются" самим видом подынтегрального выражения. Например, при вычислении интеграла

при взгляде на функцию арктангенса сразу приходит на ум соотношение

Поэтому приведённый выше интеграл естественным образом заменяется на следующий

который отыскивается численно элементарным образом.

Приём 2 – обрезание верхнего предела (или обоих пределов). Выберем такое значение b, чтобы

был меньше допустимой ошибки вычислений. Тогда его можно отбросить, а

вычислить по квадратурной формуле. Для правильного выбора величины b полезно строить график подынтегральной функции. Например, построение графика подынтегральной функции при вычислении интеграла

показывает (см. рис. 2.1), что фактически эта функция за пределами – 4  х  5 равна нулю. Поэтому данный интеграл несобственный только формально. Об этом свидетельствует и почти полное совпадение значений интегралов, вычисленных при разных пределах.

Рис. 2.1. К вычислению несобственного

Интеграла

Приём 3 – использование формул Гаусса – Кристоффеля. Из подынтегральной функции нужно выделить положительный множитель, который можно рассматривать как вес для данных пределов интегрирования. Например, дадим способ вычисления интегральной экспоненты

Сдвигая нижний предел (фактически, вводя новую переменную t ' = t – x), приведём этот интеграл к форме

Рассматривая e ^{– t '} как весовую функцию, из анализа данных табл. 2.1 находим, что этому случаю соответствуют полиномы Лагерра при  = 0, т.е. Тогда для искомого интеграла получаем

(2.26)

Это выражение можно использовать как аппроксимирующую формулу. Например, одному, двум и трём узлам интегрирования соответствуют

Если первая из этих формул пригодна лишь при больших аргументах, то вторая даёт удовлетворительную точность ~ 5 % уже при х =1, а при больших аргументах точность ещё лучше. Третья формула обеспечивает погрешность ~ 5 % уже при х  0,5, а при х  1 ошибка вычисления интеграла не превышает 1 %.

Если пределы интегрирования конечны, функция f(x) может иметь особые точки в каких-то точках отрезка [a, b] (т.е. точки, в которых она принимает бесконечные значения). Доля вычисления таких интегралов также имеются специальные приёмы.

Приём 1 – аддитивное выделение особенности. Постараемся разбить подынтегральную функцию на сумму f(x) = (x) + (x), где (x) – ограниченная функция, а (x) интегрируется аналитическими методами. Тогда вычисляем точно, а находим обычными численными методами. Заметим, что обычно разбиение на сумму делается выделением особенности в наиболее простом виде. Например, если то полученная функция будет ограничена, что и требуется.

Приём 2 – мультипликативное выделение особенности. Представим подынтегральную функцию в виде f(x) = (x)(x), где (x) ограничена, а (x) положительна и интегрируема на отрезке. Тогда можно рассматривать (x) как весовую функцию и применить квадратурные формулы Гаусса – Кристоффеля. Если на обоих концах отрезка функция имеет особенности степенного вида, то узлами интегрирования будут нули многочленов Якоби. Например,

(2.27)

Здесь использовались полиномы Чебышева первого рода (см. табл. 2.1).

Приём 3 – построение нестандартных квадратурных формул, явно учитывающих характер особенности. Так, для приведённого выше интеграла (2.27) на отдельном интервале сетки (x_i-1, x_i) можно аппроксимировать подынтегральную функцию выражением exp(x_i-1/2 )/(1 – x²)^1/2, поскольку числитель – медленно изменяющаяся функция и основная особенность связана со знаменателем. Эта аппроксимация легко интегрируется и приводит к квадратурной формуле

(2.28)

Пример 2.3. Перед выполнением численного интегрирования всегда необходимо тщательно анализировать подынтегральную функцию.

Учитывая, что

перепишем заданный интеграл в виде

По условию требуется, чтобы погрешность вычисления интеграла не превышала 10 ^4, следовательно, верхний предел интегрирования, допустимый при указанной аппроксимации определяется из условия

На этом интервале интеграл легко вычисляется

Во второй особой точке в окрестности x² =  или x = ^1/2 sin(x²)  0. Отметим также, что при x² >  подынтегральная функция изменяет знак. Здесь можно поступить двумя способами. Во-первых, можно просто исключить ближайшую окрестность точки x = ^1/2 из области интегрирования, так как интегралы слева и справа от этой точки компенсируют друг друга. Тогда

Во-вторых, можно подробно исследовать окрестность точки x = ^1/2. Используя тригонометрические соотношения sin(x²) = sin( - x²) = sin(x² - ) и разложение функций в ряды, получим

В соответствии с требуемой точностью должно быть

т.е. окрестность точки x = ^1/2 составляет 1.748499467 x  1.796089062. Следовательно, имеем

и