Задание № 3

Вычислить с точностью до 10^-4 заданный интеграл. Используя процесс Эйткена, оценить фактический порядок точности используемой квадратурной формулы (допускается использование процесса Эйткена при вычислении интеграла). Проверить, применим ли для заданной подынтегральной функции метод Рунге.

Вариант А

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12

Вариант Б

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12

Вариант В

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12

Вариант Г

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12

Рекомендации: - Для проверки правильности вычислений можно воспользоваться упомянутыми выше математическими пакетами. Так, например, в рамках пакета Mathcad вычисление интеграла осуществляется простым набором этого интеграла с помощью соответствующей математической панели

Пакет Maple любого релиза вычисляет этот интеграл с помощью специальной команды

>> int(1/sqrt(ln(1.0/x)), x=0. . 1.0);

1,772454

и т.д. Здесь возникают некоторые проблемы, о которых подробнее будет сказано ниже.

Формулы Кристофеля – Шварца

Параметрами общей квадратурной формулы являются веса и узлы. Однако, строя формулы трапеций, Симпсона, Эйлера, средних и т.д., мы заранее знали координаты узлов и по ним находили веса. Поэтому мы не полностью использовали возможности общей квадратурной формулы. Только в формуле средних мы в какой-то степени подобрали положение узла из соображений симметрии, что привело к существенному улучшению точности.

В общем случае квадратурная формула содержит всего 2n параметров; столько же содержит полином степени 2n – 1. Значит, параметры (узлы и веса) можно подобрать таким образом, чтобы квадратурная формула

(2.19)

была точна для любого многочлена степени не выше 2n – 1. Именно к такому типу формул и относится формула Гаусса – Кристоффеля. Она имеет тот же вид (2.19), но весовая функция с_k определяется по специальной формуле

(2.20)

Из изложенного следует, что узлами Гаусса – Кристоффеля являются нули соответствующих ортогональных полиномов Р_n(x).. Для наиболее употребительных весовых функций (х) узлы и веса формул Гаусса – Кристоффеля приведены в следующем пункте.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Собственно формуле Гаусса соответствует случай (х) = 1. Линейным преобразованием аргумента можно перейти к отрезку а = - 1, b = 1. На нём ортогональны с единичным весом многочлены Лежандра. Если обозначить их узлы и соответствующие веса через _k, _k, то обратным линейным преобразованием можно получить узлы и веса для произвольного отрезка

x_k = ½ (a + b) + ½ (b – a)_k,

(2.20,a)

c_k = ½ (b – a)_k, 1  k  n.

б) Формула Эрмита позволяет интегрировать на отрезке [ - 1, + 1] с весом (х) = 1/(1 – х²)^1/2. При этих условиях ортогональны многочлены Чебышева первого рода Т_n(x). Соответствующие узлы и веса интегрирования равны

_k = cos[(k – ½ )/n], _k = /n, 1  k  n. (2.20,б)

в) По формулам Гаусса – Кристоффеля возможно вычисление несобственных интегралов на полупрямой 0  х  ; если весовая функция равна (х) = х^е^х, то ортогональными будут полиномы Лагерра То же относится к интегралам на всей прямой    х  +  при весе только ортогональными будут полиномы Эрмита. Соответствующие примеры приведены в параграфе 2.2.

Ортогональные многочлены

Многочлены P_n(x) называют ортогональными с весом (х) на отрезке [a, b], если они удовлетворяют соотношениям:

(2.21)

По традиции наиболее употребительные полиномы не нормируют на единицу. Все корни ортогональных многочленов вещественные, простые и расположены на интервале (a, b). Между каждой парой соседних корней многочлена P_n(x) расположен один и только один корень многочлена P_n-1(x).

Почти все классические ортогональные полиномы являются частными случаями полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита. Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

(2.22)

Их удобно вычислять либо по обобщённой формуле Родрига

(2.23)

либо, зная два первых полинома, при помощи рекуррентных соотношений

(2.24)

Конкретный вид всех встречающихся в этих формулах функций и значения констант приведены в табл. 2.1.

Приведём типичные ортогональные полиномы с небольшими индексами n, их корни и соответствующие им веса формулы Гаусса – Кристоффеля.

Многочлены Лежандра. L₀(x) = 1; L₁(x) = 1; L₂(x) = ½ (3x² – 1); L₃(x) = = ½ (5x³ –3x); L₄(x) = (1/8)(35x⁴ – 30x² + 3); L₅(x) = (1/8)(63x⁵ – 70x³ + 15x).

n = 1; ₁ = 0; ₁ = 2.

n = 2;  ₁ = ₂ = (1/3)^1/2; ₁ = ₂ = 1.

n = 3;  ₁ = ₃ = (3/5)^1/2; ₂ = 0; ₁ = ₃ = 5/9; ₂ = 8/9.

n = 4;

n = 5;

Полиномы Лагерра (=0).

n = 1; ₁ = 1; ₁ = 1.

n = 2; ₁ = 2 – (2)^1/2, ₂ = 2 + (2)^1/2; ₁ = [2 + (2)^1/2]/4; ₂ = [2 – (2)^1/2]/4.

n = 3; ₁ = 0,415775, ₂ = 2,294280, ₃ = 6,289945;

₁ = 0,711093, ₂ = 0,278518, ₃ = 0,010389.

Многочлены Эрмита. H₀(x) = 1; H₁(x) = 2x; H₂(x) = 4x² – 2; H₃(x) = 8x³ – 12x; H₄(x) = 16x⁴ – 48x² + 12; H₅(x) = 32x⁵ – 160x³ +120x.

n = 1; ₁ = 0; ₁ = ()^1/2.

n = 2;  ₁ = ₂ = 1/(2)^1/2; ₁ = ₂ = ()^1/2/2.

n = 3;  ₁ = ₃ = (3/2)^1/2, ₂ = 0; ₁ = ₃ = ()^1/2/6, ₂ = 2()^1/2/3.

Таблица 2.1. Ортогональные многочлены

Полином	Якоби	Лежандра	Чебышева первого рода	Чебышева второго рода	Лагерра	Эрмита
Обозначение		Ln(x)	Tn(x)	Un(x)		Hn(x)
a, b	 1,  1	 1,  1	 1,  1	 1,  1	0,  	 ,  
(x)	(1 – x)(1 + x), ,  >  1	1	(1 – x2)-1/2	(1 – x2)1/2	xex,  >  1
(x)	1 – x2	1 – x2	1 – x2	1 – x2	x	1
Nn	2++1( + n + 1)( + n + 1)/[n!( +  + 2n + 1)( +  + n + 1)]	2/(2n + 1)	/2 при n  0,  при n = 0		n!  ( + n + 1)	()1/22nn!
An	n(n + +  + 1)	n(n + 1)	n2	n(n + 2)	n	2n
Bn	( 1)n/(2nn!)	( 1)n/(2n n!)			( 1)n	( 1)n
an	2(n + 1)(n +  +  + 1)(2n +  + )	n + 1	1	1	1	1
bn	(2n +  + )(2n +  +  + 1)(2n +  +  + 2)	2n + 1	2	2	1	2
cn	(2 - 2)(2n +  +  + 1)	0	0	0	2n +  + 1	0
dn	2(n + )(n + )(2n +  +  + 2)	n	1	1	n(n + )	2n

n = 5;

Полиномы Чебышева первого рода. T₀(x) = 1; T₁(x) = x; T₂(x) = 2x² – 1;

T₃(x) = 4x³ – 3x; T₄(x) = 8x⁴ – 8x² + 1; T₅(x) = 16x⁵ – 20x³ + 5x;

T₆(x) = 32x⁶ – 48x⁴ + 18x² – 1; T₇(x) = 64x⁷ – 11x⁵ + 56x³ – 7x.

Полиномы Чебышева второго рода. U₀(x) = 1; U₁(x) = 2x; U₂(x) = 4x² – 1;

U₃(x) = 8x³ – 4x; U₄(x) = 16x⁴ – 12x² + 1; U₅(x) = 32x⁵ – 32x³ + 6x.

Многочлены на системе точек. Многочлены P_n(x) называют ортонормированными на системе точек x_i с весами _i (1  x  N), если они удовлетворяют соотношениям

Систему таких многочленов можно построить, используя рекуррентное соотношение

_nP_n+1(x) = (x – a_n)P_n(x) + b_nP_n-1(x),

где

а _n определяется из условия нормировки. Для начала расчёта по этим формулам нужно положить