4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дано дифференциальное уравнение

y '' = f(x, y, y ') (4.4)

и начальные условия

y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y₀'. (4.5)

Для отыскания численного решения этой задачи требуется составит таблицу значений функции y = y(x), являющейся искомым решением, для некоторой последовательности значений аргумента x₁, x₂, , x_n (x₀ < x₁ < x₂ <  < x_n). Иногда требуют также составления таблицы производной y '(x).

9. Метод приведения к системам уравнений первого порядка

Ведём обозначение

y ' = z.

Решение дифференциального уравнения (4.4) с начальными условиями (4.5) сводится к решению следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с указанными начальными условиями:

10. Метод Рунге – Кутты

Схема Рунге – Кутты с четырьмя подстановками, имеющая погрешность порядка h⁵:

	x	v0 = y	v1 = hy '	k =
1	x0	v00	v10	k1
2	x0 + h/2	v00 + v10/2 + k1/4	v10 + k1	k2
3	x0 + h/2	v00 + v10/2 + k2/4	v10 + k2	k3
4	x0 + h	v00 + v10 + k3	v10 + 2k3	k4
5	x1 = x0 + h	v01 = v00 + v10 + k(0)	v11 = v10 + k(1)
6	k(0) = (k1 + k2 + k3)/3, k(1) = (k1 +2k2 + 2k3 + k4)/3

11. Метод конечных разностей

Экстраполяционные формулы Фалькнера:

Интерполяционные формулы Фалькнера:

При использовании данных разностных формул следует поступать так же, как в методе Адамса (7).

Задание № 8

Найти одним из методов решение задачи Коши на промежутке [0, a]. Конец промежутка интегрирования a указан для каждой задачи. Решение получить с 5 верными знаками после запятой.

В отчёте привести программу решения задачи, таблицу значений функции и график функции. Проверить результаты решения, используя какой-либо из математических пакетов.

Вариант А

Вариант	Уравнения задачи			а
1		1.1	2.1	0.4
2	-"-	1.2	2.2	-"-
3	-"-	1.3	2.3	-"-
4	-"-	1.4	2.4	-"-
5	-"-	1.5	2.5	-"-
6		1.1	2.1	0.4
7	-"-	1.2	2.2	-"-
8	-"-	1.3	2.3	-"-
9	-"-	1.4	2.4	-"-
10	-"-	1.5	2.5	-"-
11		1.1	2.1	0.6
12	-"-	1.2	2.2	-"-
13	-"-	1.3	2.3	-"-
14	-"-	1.4	2.4	-"-
15	-"-	1.5	2.5	-"-
16		1.1	2.1	0.6
17	-"-	1.2	2.2	-"-
18	-"-	1.3	2.3	-"-
19	-"-	1.4	2.4	-"-
20	-"-	1.5	2.5	-"-
21		1.1	2.1	0.4
22	-"-	1.2	2.2	-"-
23	-"-	1.3	2.3	-"-
24	-"-	1.4	2.4	-"-
25	-"-	1.5	2.5	-"-

Вариант Б

Вариант	Уравнения задачи			а
1		1.1	2.1	0.8
2	-"-	1.2	2.2	-"-
3	-"-	1.3	2.3	-"-
4	-"-	1.4	2.4	-"-
5	-"-	1.5	2.5	-"-
6		1.1	2.1	0.8
7	-"-	1.2	2.2	-"-
8	-"-	1.3	2.3	-"-
9	-"-	1.4	2.4	-"-
10	-"-	1.5	2.5	-"-
11		1.1	2.1	0.5
12	-"-	1.2	2.2	-"-
13	-"-	1.3	2.3	-"-
14	-"-	1.4	2.4	-"-
15	-"-	1.5	2.5	-"-
16		1.1	2.1	0.8
17	-"-	1.2	2.2	-"-
18	-"-	1.3	2.3	-"-
19	-"-	1.4	2.4	-"-
20	-"-	1.5	2.5	-"-
21		1.1	2.1	1.0
22	-"-	1.2	2.2	-"-
23	-"-	1.3	2.3	-"-
24	-"-	1.4	2.4	-"-
25	-"-	1.5	2.5	-"-

Замечание 1. В рамках математических пакетов численное решение систем дифференциальных уравнений первого порядка отличается только размерностью векторов и матриц. Например, в рамках пакета Maple решение системы трёх ОДУ выглядит следующим образом:

Отличительной особенностью пакета Maple является то, что в его рамках можно численно решать ОДУ произвольного порядка, не разделяя его на систему ОДУ первого порядка. Ниже приведён подробный пример решения такого уравнения.

Замечание 2. Отмеченное выше справедливо и для пакета Mathcad, поэтому ниже мы приведём лишь команды решения уравнений без таблицы значений функции. В данном пакете важно то обстоятельство, что для пространственных кривых используется Scatterplot/