Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
Даже для простейших обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удаётся найти точное решение. Поэтому большое распространение получили приближённые методы решения дифференциальных уравнений.
4.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Даже для простейших обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удаётся найти точное решение. Поэтому большое распространение получили приближённые методы решения дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дано дифференциальное уравнение
y ' = f(x, y) (4.1)
при начальном условии
y(x0) = y0.
Численно решить уравнение (4.1) – это значит в некоторых точках (х1, х2, … , хn) (x0 < x1 < x2 < . . . < xn) найти приближения y1, y2, . . . , yn для значений точного решения y(x1), y(x2), . . . , y(xn).
Заметим, что все рассматриваемые здесь методы, за исключением метода Адамса и метода последовательных приближений, позволяют вести интегрирование с переменным шагом. Изменение же шага в методах Адамса и последовательных приближений требует пересчёта предыдущих результатов.
1. Разложение в ряд Тейлора
Если существует разложение искомой функции у = у(х) по формуле Тейлора в окрестности х = х0, то
с погрешностью
Выбирать m следует так, чтобы |Rm| был меньше допустимой погрешности приближённого решения.
Производные y(i)(x0) находятся последовательным дифференцированием исходного уравнения (4.1) (с учётом начальных условий). В частности,
y '(x0) = f(x0, y0);
Этот метод используется для построения начала таблицы.
2. Метод Эйлера
Приближённые значения yk+1 определяются по формуле
y(xk + h) yk+1 = yk + hf(xk, yk),
погрешность которой Rk имеет порядок h2
3. Усовершенствованный метод Эйлера
Сначала вычисляются промежуточные значения
xk+1/2 = xk + h/2; yk+1/2 = yk + (h/2)f(xk, yk).
Затем находится
yk+1 = yk + hf(xk+1/2, yk+1/2).
Этот метод имеет несколько большую точность, чем метод Эйлера 2.
4. Усовершенствованный метод Эйлера – Коши
Первоначально вычисляется грубое
приближение
которое затем уточняется по формуле
Погрешность этого метода на каждом шаге имеет порядок h3.
5. Усовершенствованный метод Эйлера – Коши с итерационной обработкой
Вычисляется грубое приближение
которое затем уточняется по следующей итерационной формуле:
Итерацию продолжают
до тех пор, пока в пределах заданной
точности два последовательных приближения
и
не
совпадут. После чего
принимают
за приближённое значение y(xk+1).
Однако не всегда
будет
совпадать с y(xk+1)
в пределах заданной точности, так
как предел последовательности
может
отличаться от y(xk+1).
Этот метод даёт на каждом шаге погрешность порядка h3.