Задание № 5

В ниже приведённых задачах требуется оценить обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений, решить систему, вычислить определитель матрицы и обратную матрицу.

Для сокращения записи в задачах приводится только матрица коэффициентов А и столбец свободных членов b, записанный иногда в строчку. В задачах, содержащих параметр, матрица коэффициентов получается в результате сложения матриц D и kC, где k – параметр, изменяющийся по некоторому закону.

Вариант А

1.

Вариант	1	2	3	4	5	6
k	2	4	6	8	10	12

2.

Вариант	7	8	9	10	11	12
k	2	4	6	8	10	12

3.

Вариант	13	14	15	16	17	18
k	2	4	6	8	10	12

4.

Вариант	19	20	21	22	23	24
k	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0

Вариант Б

1.

Вариант	1	2	3	4	5	6
k	2	4	6	8	10	12

2.

Вариант	7	8	9	10	11	12
k	0,02	0,04	0,06	0,08	0,10	0,12

3.

Вариант	13	14	15	16	17	18
k	1	3	5	7	9	11

4.

Вариант	19	20	21	22	23	24
k	1,5	3,5	5,5	7,5	9,5	11,5

3.3. Системы нелинейных уравнений

В общем случае, методы решения систем нелинейных уравнений можно рассматривать как своеобразное обобщение методов решения одного нелинейного уравнения. Эти методы подробно излагаются в литературе по численным методам и здесь не рассматриваются.

Метод простых итераций

Систему нелинейных уравнений можно кратко записать в векторном виде

f(x) = 0, (3.10)

или более подробно в координатном представлении

f_k(x₁, x₂,  , x_n) = 0, 1 k  n. (3.11)

Такие системы решают практически только итерационными методами. Нулевое приближение в случае двух переменных можно найти графически: построить на плоскости (х₁, х₂) кривые f₁(x₁, x₂) =0 и f₂(x₁, x₂) = 0 и найти точки их пересечения. Для трёх или более переменных (а также для комплексных корней) удовлетворительных способов подбора нулевых приближений нет.

В методе простых итераций, называемом также методом последовательных приближений, нелинейная система (3.11) заменяется эквивалентной системой х = (х). Выбирается некоторое нулевое приближение х⁽⁰⁾ и дальнейшие приближения отыскиваются по формуле

x⁽ⁿ⁺¹⁾ = (x⁽ⁿ⁾) (3.12)

или

(3,12,a)

Описанный выше в самой общей форме метод в литературе часто называют методом одновременных смещений или методом Якоби. Его сходимость можно улучшить, используя метод последовательных смещений или метод Гаусса – Зейделя. Отличие этого метода от предыдущего состоит в том, что только что найденные новые приближения в (k – 1)-ой точке (и всех предыдущих) используются для отыскания нового приближения в последующих точках (или для последующих переменных). Основным уравнением метода последовательных смещений является выражение

(3.13)

Метод Ньютона

Пусть известно некоторое приближение х^(s) к корню Запишем исходную систему (3.10) в виде f(x^(s) +  x) = 0, где  х = Разлагая эти уравнения в ряды и ограничиваясь первыми дифференциалами, т.е. линеаризуя функцию, получим

(3.14)

Эта система уравнений линейна относительно приращений Все коэффициенты этой системы выражаются через последнее приближение x^(s). Решив эту систему (например, методом исключения), найдём новое приближение x^(s+1) = x^(s) +  x^(s).

Методы спуска

Рассмотрим функцию (x) = образованную из исходной системы уравнений. Она неотрицательна и обращается в нуль в том и только в том случае, когда f(x) = 0. Таким образом, решение исходной системы уравнений (5.10) будет одновременно и минимумом скалярной функции многих переменных Ф(х).

Замечание 1. – В принципе, все вышеописанные методы решения систем нелинейных уравнений неявно "задействованы" в командах и функциях распространённых ныне математических пакетов. Правда, ни в документации этих пакетов, ни в литературе не указывается, для какого порядка систем "работоспособны" эти функции. Поскольку при их использовании необходимо задавать нулевые приближения, то, по-видимому, число уравнений системы не должно быть слишком велико.

Замечание 2. – Для систем уравнений невысокого порядка удобны пакеты Mathcad, Maple и Mathematica. Рассмотрим использование первого из них на следующем примере.

Пусть требуется решить следующую систему уравнений

Начальные приближения найдём графически. Для этого в соответствии с правилами Mathcad сформируем матрицы значений функций, образующих уравнения системы, и построим соответствующие контурные графики:

f(x, y) : = cos(0.4y + x²) + x² + y² – 1.6 g(x, y) : = 1.5x² -

i:= 0..100 j:= 0..100 x_i := 0.02i y_j := - 1 + 0.02j F_{i, j} := f(x_i, y_j)

G_{i, j} := g(x_i, y_j)

Как видно из сопоставления контурных линий, приведённых на последующем рисунке и соответствующих нулевому значению функций, эти линии пересекаются в двух точках: (х  1, у  0,45) и (х  0,8, у   0,3). Используя эти приближения, воспользуемся совокупностью команд Given и Find:

x : = 1.0 y : = 0.45

Given

cos(0.4y + x²) + x² + y²  1.6

1.5x² 

Для второго решения аналогично имеем

x : = 0.8 y : = - 0.25

Given

cos(0.4y + x²) + x² + y²  1.6

1.5x² 

В рамках Maple система нелинейных уравнений решается при помощи команды fsolve({eqn1, eqn2, …}, {v1, v2, …}, options), где аргумент options используется для указания примерных интервалов расположения корней. По сравнению с Mathcad данный пакет имеет то преимущество, что позволяет совмещать контурные графики и, тем самым, более точно устанавливать нулевые приближённые решения.

Для данного примера использование пакета Maple будет выглядеть так:

> restart; with(plots):

> v1 := contourplot(cos(0.4*y+x^2)+x^2+y^2-1.6, x=0..2,y= - 1.0..1.0, grid = [15, 15],

contours = [-0.5, 0, 0.5], numpoints = 1600, colour = blue):

> v2 := contourplot(1.5*x^2-y^2/0.36-1., x=0..2, y= - 1.0..1.0, grid = [15, 15],

contours = [-0.5, 0, 0.5], numpoints = 1600, colour = red):

> plots[display]([v1, v2]);

Результат этих действий показан на вышеприведённом рисунке. Конечно, здесь также имеется вполне определённый недостаток, связанный с тем, что графика Maple "не признаёт" координатной сетки. Тем не менее, рисунок очень нагляден, особенно если учесть, что значения контурных линий возрастает слева направо.

Дальнейшая процедура использования пакета вполне определена:

> fsolve({cos(0.4*y+x^2)+x^2+y^2-1.6=0, 1.5*x^2-y^2/0.36-1.=0}, {x, y},

x=1.0 . . 1.2, y=0.4 . . 0.5);

{x = 1.038629238, y = .4717259527}

> fsolve({cos(0.4*y+x^2)+x^2+y^2-1.6=0, 1.5*x^2-y^2/0.36-1.=0}, {x, y},

x=0.8 . . 1.2);

{x = .8745654831, y = - .2302758856}

Пример 3.1. Решить систему уравнений

Начальное приближение найти графически.

Из первого уравнения следует, что 0.6  x² + y²  2.6. Поэтому график g(x, y) достаточно построить для значений x  [0.82, 1.4]. Кривую g(x, y) на этом промежутке построим по следующим точкам:

x	0.82	1.0	1.1	1.2	1.3	1.4
y	0.0	0.42	0.54	0.65	0.74	0.83

Введём обозначение

0.4y + x² = q. (a)

Тогда из первого уравнения следует

cos(q) + x² + y² –1.6 = 0. (b)

Как видно из таблицы, нас интересуют значения q лишь в промежутке 0.6 < q < 2.3. Разрешим равенства (а) и (b) относительно x и y:

Придавая q различные значения, получим ряд точек на кривой f(x, y) = 0:

q	1.0	1.1	1.2	1.3
x	0.89	0.94	1.00	1.05
y	0.52	0.50	0.48	0.47

По данным таблиц строим график:

Из графика видно, что начальное приближение составляет: x₀ = 1.04, y₀ = 0.47. Полученное приближенное решение уточним по методу Ньютона

где

Все вычисления вносим в две таблицы, где x и y обозначают соответственно и .

Основная таблица			Вспомогательная таблица
x	1.04	1.03864	x	1.04	1.03864
y	0.47	0.47173	y	0.47	0.47173
f	 0.00084	0.00000	0.4y	0.188	0.18869
g	0.00879	0.00002	x2	1.0816	1.07877
fx'	0.09364	0.09483	 = 0.4y + x2	1.2696	1.26746
fy'	0.55801	0.56172	cos()	0.29666	0.29870
gx'	3.12	3.11592	1.5 x2	1.6224	1.61816
gy'	 2.61111	 2.62072	y2	0.2209	0.22253
x	0.00271	0.00001	y2/0.36	0.61361	0.61814
y	 0.00344	0.00000	2 x	2.08	2.07728
	 1.98549	 1.99889	2 xsin()	 1.98636	 1.98245
x	0.00136	0.00000	 0.4sin()	 0.38119	 0.38174
y	 0.00173	0.00000

Ответ: x = 1.03864; y = 0.47173.

Этот ответ полностью совпадает с приведённым выше первым решением, однако второе решение при таком подходе не выявляется. Необходимо строить полный график функций, а не его отдельные линии.