1. Найти экстремумы функции

1)f(x)=x³-2x²+x+3

2) f(x)=e^x(5x-3)

Решение

1. Найдем критические точки функции: =3x²-4x+1

3x²-4x+1=0 D=16-4*3*1=16-12=4

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знаки интервалов

X_min=1 (т.к. производная меняет знак с - на +) y_min=1-2+1+3=3

X_max=1/3 (т.к. производная меняет знак с + на -) y_max=(1/3)³-2*(1/3)²+1/3+3= . Таким образом,

y_min=3

y_max=

2. Найдем критические точки функции: =

≠0 (при любом х),тогда

х=-2/5

Наносим точку на числовую ось и определяем знаки интервалов

X_min=-2/5 (т.к. производная меняет знак с - на +) y_min=

2. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x³-2x²+x+3

Решение

Воспользуемся решением предыдущего пункта. Нами были найдены критические точки и нанесены на ось.

Как видим из рисунка, функция возрастает на интервалах хє(-∞;1/3)U(1; +∞)

Функция убывает на интервале хє(1/3;1)

3. Построить график функции

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x³-2x²+x+3 на отрезке [0;3/2]

Решение

Воспользуемся решением задачи 1 данной контрольной работы. Мы находили экстремумы функции. На указанном отрезке [0;3/2] значения y_min=3 и y_max= и являются наименьшим и наибольшим значениями функции соответственно

Контрольная работа №4

Базовый уровень

1. Доказать, что функция F(x)=3*x+sinx-e^2x является первообразной функции f(x)=3+cosx-2e^2x на всей числовой оси

Решение

Проверим выполнение условия

+ =3+cosx-2e^2x. Чтд

2. Найти первообразную F(x) функции f(x)= график которой проходит через точку А(0; 7/8)

Решение

Найдем функцию F(x) такую, что

F( )= dx= dx=

Т.к. график первообразной F(x) проходит через точку А(0; 7/8), то координаты этой точки удовлетворяют координатам первоообразной

7/8=4/3*0+С с=7/8

Таким образом, F(x)= - искомая первообразная

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=3х-х², х=1, х=2 и осью ОХ

Решение

Построим заданные линии в одной системе координат

у=3х-х² – парабола (синий график)

х=1, х=2 – прямые, параллельные оси ОУ (красные графики)

Полученная криволинейная трапеция выделена цветом.

Контрольная работа №5

Базовый уровень

1. Найти

Решение

2. Сколькими способами из числа 15 учащихся класса можно выбрать культорга и казначея?

Решение

Если культорг и казначей разные люди, то

15 способами можно выбрать культорга

14 способами можно выбрать казначея

Итого, n=15*14=210 способов выбора

3. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 таким образом, чтобы все цифры в числах были различны?

Решение

n=6!=1*2*3*4*5*6=720 способов. Требуемые шестизначные числа с различными цифрами мы получим, перестановкой данных цифр. Всего существует 6! Таких перестановок

Контрольная работа №6

Базовый уровень

1. Бросают два игральных кубика – большой и маленький. Какова вероятность того, что

1. на обоих кубиках появится 4 очка;

2. на большом кубике появится два очка, а на маленьком четное число очков

Решение

1. Рассмотрим ситуацию, когда на обоих кубиках появится 4 очка. Согласно классического определения вероятности P=m/n, где

m – количество ситуаций, благоприятствующих появлению искомого события

n – общее количество ситуаций

В нашем случае m=1 (только один случай благоприятен для выпадения 4 очков из 6-ти возможных)

n=6*6=36 (на каждом из кубиков 6 ситуаций для выпадения очков). Поэтому,

Р=1/36

2. Вероятность появления 2-х очков на большом кубике равна р₁=1/6 (одна ситуация успеха из 6-ти возможных ситуаций). Вероятность выпадения четного числа на маленьком кубике равна р₂=3/6=1/2 (3 ситуации успеха: выпадение 2, 4, 6 очков из 6-ти возможных очков). Эти события должны произойти одновременно, поэтому, искомая вероятность равна Р=р₁* р₂=1/6*1/2=1/12