Лабораторная работа №7 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Краткая теория

Будем рассматривать системы уравнений вида

Аx=b (1)

Здесь А – квадратная матрица порядка n, x – вектор-столбец с n неизвестными компонентами - вектор-столбец свободных членов.

Решением системы называется любой вектор, при подстановке которого в систему получается верное равенство. Решить систему – значит определить, имеет ли она решение и, если решение есть, найти его с заданной точностью.

Приближенное решение системы линейных уравнений состоит из двух этапов:

нахождение приближенного значения;
уточнение решения.

Метод Гаусса

Один из методов решения системы (1) – метод Гаусса. Этот метод применим к любой системе линейных уравнений, определитель матрицы А которой отличен от нуля.

Алгоритм метода

Пусть имеется система линейных уравнений вида:

Разделим первое уравнение на коэффициент , если , можно переставить уравнения системы так, чтобы первым оказалось уравнение с . Получим уравнение вида

Умножим уравнение (*) на и на и сложим их со вторым и третьим уравнениями системы. Получим систему уравнений:

Проделав те же преобразования с данной системой, получим уравнения:

Из уравнений, отмеченных звездочками, найдем неизвестные

Уточнение решения

Полученное методом Гаусса приближенное решение x₀ содержит погрешность за счет округления приближенных значений. Тогда , где - столбец поправок. Подставляя в систему, получим:

Аx=b; A( . Назовем А невязками и обозначим Тогда

Следовательно, чтобы найти невязки , надо подставить приближенное решение в систему и вычесть полученный столбец из столбца свободных членов. Для нахождения поправок следует снова решить систему, взяв в качестве столбца свободных членов столбец невязок. Поправки надо прибавить к приближенному решению.