Лабораторная работа №3 Решение нелинейных уравнений методом хорд

Краткая теория

Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):

Здесь ξ - точный корень уравнения (1), ­­x - начальное приближение к корню, x -точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x ] и получается второе приближение к корню - x . В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x ,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x =b,

x =a- (2)

Для случая неподвижного конца b используется формула: x =a,

x =x - (3)

Правило определения неподвижного конца хорды:

Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе - конец a.

Погрешность метода

Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка:

Алгоритм метода

1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x другой конец отрезка.

2. Вычислить новое приближение к корню x по формуле (2) или (3).

3. Если длина отрезка [x , x ] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x или x , иначе идти к п.2

Решение одного варианта

1. Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x .

Отделим корень графически. Построим графики функций

y =tg(0.5x+0.1) и y =x :

Таким образом, уравнение имеет два корня

x

y =x

[0.5; 1] и x [-0.5; 0]

Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x на промежутке [0.5;1]. Имеем

f

y =tg(0.5x+0.1)

‘(x)=0.5/cos (0.5x+0.1)-2x;

f ‘(x)<0 при x [0.5; 1],

f‘’(x)=0.5sin(0.5x+0.1)/cos (0.5x+0.1)-2;

f ‘’(x) <0 при x [0.5; 1].

Для вычисления применяем формулу (3): x =а,

, где b=1, x =0,5

Вычисления удобно располагать в таблице:

n	x	f(x )
0 1 2 3 4 5	0,5 0,608 0,642 0,650 0,652 0,653	0,100 0,034 0,009 0,002 0,001	-0,108 -0,034 -0,009 -0,002 0,000

x≈0,653.

Второй корень вычисляется по формуле (2) и равен –0,144

Ответ: x ≈0,653, x ≈-0,144.

2. Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0,001:

.

Находим D=0.16-6<0.

Составим таблицу знаков функции f(x):

x		-1	0	1
Знаки f(x)	-	-	+	+	+

Из таблицы видно, что уравнение имеет один действительный корень .

Уточним корень методом хорд.

при , , при

Для вычисления применяем формулу (2):

x =b x =a- , где а=-1, x =0.

N		f( )	h=
0 1 2 3 4	0 -0,882 -0,943 -0,946 -0,946	1,5 0,216 0,010 0,000	-0,118 -0,057 -0,054 -0,054

Ответ: x≈-0,946.

Задания

1. Отделить корни графически и уточнить их методом хорд до 0.001:

1. 

2. tg(0.58x+0.1)=x²­

3. ­_­­

4. tg(0.4x+0.4)=x²

5. lgx-7/(2x-6)=0

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. x lgx - 1.2 = 0

14. 1.8x² – sin10x = 0

15. ctgx – x / 4 = 0

16. tg(0.3x + 0.4) = x²

17. x – 20sinx = 0

18. ctgx – x / 3 = 0

19. tg(0.47x + 0.2) = x²

20. x² + 4sinx = 0

21. ctgx – x / 2 = 0

22. 2x – lgx – 7 = 0

23. tg(0.44x + 0.3)=x²

24. 3x – cosx – 1 = 0

25. xsinx-1=0

26. 10cosx-0,1x²=0

27. 2lg(x+7)-5sinx=0

28. 1.2-lnx=4cos2x

2. Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001:

1. x³ – 3x² + 9x – 8 = 0

2. x³ – 15x + 11 = 0

3. x³ – 3x² + 6x + 8 = 0

4. x³ – 0.1x² + 0.4x – 1.5 = 0

5. x³ – 3x² + 9x +2 = 0

6. x³ + x – 5 = 0

7. x³ + 0.2x² + 0.5x – 1.2 = 0

8. x³ + 3x +1= 0

9. x³ + 0.2x² + 0.5x – 2 = 0

10. x³ – 3x² + 12x – 9 = 0

11. x³ – 0.2x² + 0.3x – 1.2 = 0

12. x³ – 3x² + 6x – 2 = 0

13. x³ – 0.1x² + 0.4x – 1.5 = 0

14. x³ + 3x² + 6 = 0

15. x³ + 0.1x² + 0.4x – 1.2 = 0

16. x³ + 4x - 6 = 0

17. x³ + 0.2x² + 0.5x + 0.8 = 0

18. x³ - 3x² + 12x - 12 = 0

19. x³ – 0.2x² + 0.3x + 1.2 = 0

20. x³ - 2x + 4 = 0

21. x³ – 0.2x² + 0.5x - 1.4 = 0

22. x³ – 0.2x² + 0.5x – 1 = 0

23. x³ – 0.1x² + 0.4x + 1.2 = 0

24. x³ – 0.4x² + 0.6x – 1 = 0

25. 2x³-8x²-30x+1=0

26. 2x³-9x²-60x+1=0

27. x³-6x²+x+10=0

28. x³-4.5x²+x+3=0