Лабораторная работа №13 Метод Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Краткая теория
Задача Коши: Найти решение y=y(x) дифференциального уравнения
, (1)
удовлетворяющее
начальному условию
.
Решить дифференциальное уравнение (1)
численным методом – это значит для
заданной последовательности аргументов
,
,…,
,
где
,
k=
0, 1,…,n
и числа y0
= y(x0),
не определяя функцию y=y(x),
найти такие значения y1,
y2,
…, yn,
что yk=y
(xk),
k=1,2,…,n.
Таким образом, численный метод решения
дифференциального уравнения позволяет
вместо нахождения функции y=y(x)
получить таблицу значений этой функции
для заданной последовательности
аргументов.
Задача Коши имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию, если функция f(x,y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0,y0) и если в этой окрестности существует ограниченная частная производная функции f по y.
Одним из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Пусть требуется найти решение задачи Коши на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей и получим последовательность xk=x0+hk, k=0,1,…,n; h=(b-a)/ n. Формула Эйлера для вычисления значений y имеет вид:
yk+1=yk+f (xk, yk)h (2)
y
Mn
M2
M0 M1
y0 y1 y2
x0 x1 x2 xn x
Рис. 1
Геометрический смысл метода Эйлера состоит в следующем: на [x0, x1] искомую интегральную кривую заменяют отрезком касательной к ней, проходящей через точку M0(x0, y0). Затем из точки M1(x1,y1) проводят новый отрезок касательной уже к той интегральной кривой, которая проходит через M1 (рис.1).
Продолжая построение отрезков, получают ломаную Эйлера, которая аппроксимирует искомую интегральную кривую.
Основным недостатком метода Эйлера является невысокая точность, поэтому чаще используют одну из модификаций метода Эйлера – метод Эйлера с уточнением. Согласно этому методу грубое приближение y(0), найденное по формуле (2), уточняется в ходе построения итерационной последовательности
,
где i=1,2,..-
номер итерации. (3)
Итерации продолжают
до тех пор, пока два последовательных
приближения
и
не совпадут с требуемой степенью
точности. После этого полагают
Решение одного варианта
Используя метод Эйлера с уточнением, составить таблицу приближенных значений решения дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего начальному условию y(1.4)=2.2 на [1.4;2.4] с шагом h=0.1. Вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.
Результаты
вычислений оформим в виде таблицы 1. В
заголовке таблицы приняты обозначения:
k-
номер аргумента xk,
для которого находится значение решения
yk,
h-
шаг изменения аргумента.
Порядок вычислений
Находим грубое приближение
по формуле (2):
Значение f(xk,yk) записываем в 4- ый столбец таблицы. Затем вычисляем значение hfk, а затем y0k+1 по формуле (2) (сумма 3 и 5 столбцов таблицы).
2) Используя y0k+1 в качестве начального приближения, находим уточнение значение y(i)k+1 по формуле (3):
,
где i
– номер итерации.
Для этого вычисляем
,
записываем результат в 8-й столбец
таблицы.
Находим сумму 4-го и 8-го столбцов (результат в 9-ый столбец). Умножаем результат на h/2 (10-ый столбец). Прибавив к значению 10 столбца значение yk из 3-го столбца, получаем очередное значение итерационной последовательности (по формуле (3)) и записываем его в 7-ой столбец. Повторяем вычисления i-х приближений до тех пор, пока не будет выполнено равенство
до 4-х знаков после запятой, и берем в качестве очередного значения yk (записываем в 3-ий столбец при следующем xk).
3) Очередные значения yk находим по правилам приведенных выше пунктов 1 и 2, пока не будут найдены все k решений на отрезке [a,b].
-
k
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1.4
1.5
2.2
2.2292
0.2229
0
1
2
2.4229
2.4305
2.4306
2.3805
2.3821
4.6097
4.6113
0.2305
0.2306
1
1.5
1.6
2.4306
2.3821
0.2382
0
1
2
2.6688
2.6760
2.6761
2.5268
2.5280
4.9089
4.9101
0.2454
0.2455
2
1.6
1.7
2.6761
2.5281
0.2528
0
1
2
2.9289
2.9357
2.9357
2.6641
2.6648
5.1922
5.1929
0.2566
0.2566
3
1.7
1.8
2.9357
2.6648
0.2665
0
1
2
3.2022
3.2084
3.2084
2.7892
2.7895
5.4540
5.4543
0.2727
0.2727
4
1.8
1.9
3.2084
2.7895
0.2790
0
1
2
3.4874
3.4929
3.4929
2.8998
2.8998
5.6893
5.6893
0.2845
0.2845
5
1.9
2.0
3.4929
2.8998
0.2900
0
1
2
3.7829
3.7876
3.7876
2.9939
2.9936
5.8937
5.8934
0.2947
0.2947
6
2.0
2.1
3.7876
2.9936
0.2994
0
1
2
4.0870
4.0908
4.0908
3.0700
3.0696
6.0636
6.0632
0.3032
0.3032
7
2.1
2.2
4.0908
3.0696
0.3070
0
1
2
4.3978
4.4006
4.4006
3.1273
3.1268
6.1969
6.1964
0.3098
0.3098
8
2.2
2.3
4.4006
3.1268
0.3127
0
1
2
4.7133
4.7152
4.7152
3.1658
3.1654
6.2968
6.2922
0.3146
0.3146
9
2.3
2.4
4.7152
3.1654
0.3165
0
1
2
5.0517
5.0328
5.0328
3.1866
3.1863
6.3520
6.3517
0.3176
0.3176
10
2.4
5.0328
Задание
Используя метод
Эйлера с уточнением, составить таблицу
приближенных значений интеграла
дифференциального уравнения
удовлетворяющего
начальным условиям
на отрезке [a,b];
шаг h=0.1.
Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.
1.
, 
2.
, 
3.
, 
4.
, 
5.
, 
6.
, 
7.
, 
8.
,
9.
, 
10.
, 
11.
,
12.
,
13.
,
14.
,
15.
,
16.
,
17.
,
18.
, 
19.
, 
20.
, 
21.
, 
22.
, 
23.
, 
24.
,
25.
, 
26.
, 
27.
,
28.
, 
29.
,
30.
, 
