Лабораторная работа №12 Численное интегрирование
Краткая теория
Для приближенного
вычисления определенного интеграла
,
где
- непрерывная на отрезке [a,
b]
функция, применяют различные квадратурные
формулы. При этом подынтегральная
функция заменяется на данном отрезке
интегральным полиномом и применяется
приближенное равенство:
или
, (1)
где
;
.
Обозначив
,
для случая, когда
дважды дифференцируема на [а,b],
можно получить следующую оценку
погрешности методом интегрирования
по формуле трапеций:
, (2)
где
,
Формула Симпсона имеет вид:
(3)
Оценка погрешности, когда f(x) имеет четыре производных на [a,b], дается формулой:
,
где
,
n=2m,
(4)
Формула Симпсона обладает повышенной точностью по сравнению с формулой трапеций. Это означает, что для достижения той же точности в ней можно брать меньшее число отрезков разбиения. Для оценки погрешности на практике часто используется прием двойного пересчета. При этом интеграл вычисляется дважды: при делении промежутка интегрирования на n частей и на 2n частей.
Обозначаем полученные значения интеграла In и I2n. Эти значения сравниваются, и совпадающие десятичные знаки считаются верными.
Обозначив через Rn и R2n погрешность интегрирования по формуле Симпсона соответственно при n и 2n отрезках разбиения, можно получить оценку:
(5)
Решение одного варианта
1. Вычислить интеграл по формуле трапеций с точностью до 0.001
.
Чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, следует подобрать значение n так, чтобы выполнялось условие:
,
где а=0.6,
b=1.4;
M=max|f’’(x)|;
.
Находим последовательно
;
;
;
n=20
.
Дальнейшее вычисление выполняем в виде расчетной таблицы:
i |
xi |
y0, y20 |
y1,…, y19 |
0 |
0,6 |
0,62017 |
|
1 |
0,64 |
|
0,59256 |
2 |
0,68 |
|
0,56687 |
3 |
0,72 |
|
0,54297 |
4 |
0,76 |
|
0,52072 |
5 |
0,8 |
|
0,5 |
6 |
0,84 |
|
0,48068 |
7 |
0,88 |
|
0,46265 |
8 |
0,92 |
|
0,44579 |
9 |
0,96 |
|
0,43001 |
10 |
1 |
|
0,41523 |
11 |
1,04 |
|
0,40135 |
12 |
1,08 |
|
0,38831 |
13 |
1,12 |
|
0,37604 |
14 |
1,16 |
|
0,36447 |
15 |
1,2 |
|
0,35355 |
16 |
1,24 |
|
0,34324 |
17 |
1,28 |
|
0,33348 |
18 |
1,32 |
|
0,32424 |
19 |
1,36 |
|
0,31547 |
20 |
1,4 |
0,30715 |
|
|
|
0,92732 |
8,15761 |
2
.
Вычислить интеграл по формуле Симпсона
при n=10.
Оценить погрешность методом двойного
пересчета.
Составим расчетную таблицу:
i |
|
|
|
|
0 |
2 |
-0.0559 |
|
|
1 |
2.1 |
|
-0.0337 |
|
2 |
2.2 |
|
|
-0.0142 |
3 |
2.3 |
|
0.0027 |
|
4 |
2.4 |
|
|
0.0172 |
5 |
2.5 |
|
0.0297 |
|
6 |
2.6 |
|
|
0.0401 |
7 |
2.7 |
|
0.0488 |
|
8 |
2.8 |
|
|
0.0559 |
9 |
2.9 |
|
0.0651 |
|
10 |
3 |
0.0657 |
|
|
|
|
0.0098 |
0.1090 |
0.0991 |
Применяя формулу
Симпсона,
Для оценки погрешности повторим вычисление интеграла для n=20:
i |
|
|
|
|
0 |
2 |
-0.0559 |
|
|
1 |
2.05 |
|
-0.0444 |
|
2 |
2.1 |
|
|
-0.0337 |
3 |
2.15 |
|
-0.0236 |
|
4 |
2.2 |
|
|
-0.0142 |
5 |
2.25 |
|
-0.0055 |
|
6 |
2.3 |
|
|
0.0027 |
7 |
2.35 |
|
0.0102 |
|
8 |
2.4 |
|
|
0.0172 |
9 |
2.45 |
|
0.0237 |
|
10 |
2.5 |
|
|
0.0297 |
11 |
2.55 |
|
0.0351 |
|
12 |
2.6 |
|
|
0.0401 |
13 |
2.65 |
|
0.0447 |
|
14 |
2.7 |
|
|
0.0488 |
15 |
2.75 |
|
0.0526 |
|
16 |
2.8 |
|
|
0.0559 |
17 |
2.85 |
|
0.0589 |
|
18 |
2.9 |
|
|
0.0615 |
19 |
2.95 |
|
0.0637 |
|
20 |
3 |
0.0657 |
|
|
|
|
0.0098 |
0.2155 |
0.208 |
Применяя формулу Симпсона,
получим
.
Задания
1) Вычислить интеграл по формуле с точностью до 0,001.
2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=10. Оценить погрешность методом двойного пересчета.
1. 1) |
2)
|
15.
1)
|
2)
|
2. 1) |
2)
|
16.
1)
|
2) |
3. 1) |
2)
|
17.
1)
|
2)
|
4.
1) |
2)
|
18.
1)
|
2)
|
5.
1) |
2)
|
19.1) |
2)
|
6.
1) |
2)
|
20.1) |
2)
|
7.
1) |
2)
|
21.
1)
|
2)
|
8.
1) |
2)
|
22.1) |
2) |
9.
1) |
2) |
23.
1)
|
2) |
10.
1) |
2)
|
24.
1)
|
2) |
11.
1) |
2)
|
25.
1)
|
2)
|
12.
1) |
2) |
26.
1)
|
2)
|
13.
1) |
2)
|
27.
1)
|
2)
|
14.
1) |
2) |
28.
1)
|
2)
|
