Лабораторная работа №10 Интерполяционный многочлен Ньютона

Краткая теория

Пусть необходимо решить задачу интерполирования. Для ее решения воспользуемся интерполяционным многочленом Ньютона. В случае равноотстоящих узлов интерполяции, т.е., когда , интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

(1)

Формула (1) – интерполяционная формула Ньютона «интерполирования вперед», она удобна при интерполировании функций в точках , близких к . Для вычисления значения функции с помощью многочлена Ньютона при равноотстоящих узлах полагаем и формула Ньютона принимает вид

При интерполировании функций для значений x, близких к наибольшему узлу x_n используют формулу «интерполирования назад». При равноотстоящих узлах формула интерполирования назад имеет вид

обозначим ее формулой (3)

или

где

Решение одного варианта

Функция y(x) задана с помощью таблицы:

x	y
1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260	0.106044 0.106491 0.106935 0.107377 0.107818 0.108257 0.108696 0.109134 0.109571 0.110008

Найти значения функции y(x) при следующих значениях аргумента:

x₁=1.2173,

x₂=1.253,

x₃=1.210,

x₄=1.270.

Составим таблицу конечных разностей:

i	x	y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260	0.106044 0.106491 0.106935 0.107377 0.107818 0.108257 0.108696 0.109134 0.109571 0.110008	0.000447 0.000444 0.000442 0.000441 0.000439 0.000439 0.000438 0.000437 0.000437 -	-0.000003 -0.000002 -0.000001 -0.000002 0 -0.000001 -0.000001 0 - -

Ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При x=1.2173 и x=1.210 пользуемся формулой Ньютона «интерполирования вперед»: , где .

Если x=1.2173, то: q=(1.2173-1.215)/0.005=0.46;

P(1.2173)=0.106044+0.46(0.46-1)(-0.000003)/2=0.106044+

+0.0002056+0.0000004=0.1106250.

Если x=1.210, то: q=(1.210-1.215)/0.005=-1;

P(1.210)=1.106044+(-1) 0.000447-0.000003=0.105594.

При x=1.253 и x=1.270 пользуемся формулой Ньютона «интерполирования назад»:

, где .

Если x=1.253, то: q=(1.253-1.260)/0.005=-1.4;

P(1.253)=0.110008+(-1.4) (-1.4+1) 0=0.110008-0.000612=0.109396.

Если x=1.270, то: q=(1.270-1.260)/0.005=2;

P(1.270)=0.110008+2 0.000437+2 3 (-0.000001)/2=0.110879.

Ответ: f(1.2173)0.106250; f(1.253)0.109396;

f(1.210)0.105594; f(1.270)0.110879.

Задание

Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислить значение функции при данных значениях аргумента.

x	y	№ вар	Значения аргумента
			x1	x2	x3	x4
1.415 1.420 1.425 1.430 1.435 1.440 1.445 1.450 1.455 1.460	0.888551 0.889599 0.890637 0.891667 0.892687 0.893698 0.895693 0.896677 0.897653 0.898619	1 5 9 13 17 21 25	1.4161 1.4179 1.4263 1.4238 1.4082 1.4205 1.4058	1.4625 1.4633 1.4575 1.4612 1.4644 1.4621 1.4598	1.4135 1.4124 1.410 1.4118 1.4136 1.4107 1.4112	1.470 1.4655 1.4662 1.4658 1.4680 1.4672 1.4697

x	y	№ вар	Значения аргумента
			x1	x2	x3	x4
1.415 1.420 1.425 1.430 1.435 1.440 1.445 1.450 1.455 1.460	0.888532 0.889578 0.890629 0.891641 0.892678 0.893702 0.895106 0.896542 0.897664 0.898613	2 6 10 14 18 22 26	1.4158 1.4184 1.4272 1.4213 1.4195 1.4257 1.4156	1.4622 1.4571 1.4536 1.4558 1.4609 1.4646 1.4678	1.4147 1.4139 1.414 1.4142 1.4136 1.4240 1.4211	1.465 1.4612 1.4608 1.4670 1.4658 1.4710 1.4709
x	y	№ вар	Значения аргумента
			x1	x2	x3	x4
1.101 1.106 1.111 1.116 1.121 1.126 1.131 1.136 1.141 1.146	0.888551 0.889599 0.890637 0.891667 0.892687 0.893698 0.895693 0.896677 0.897653 0.898619	3 7 11 15 19 23 27	1.1026 1.1035 1.1074 1.1014 1.1029 1.1046 1.1012	1.1440 1.1492 1.1485 1.1429 1.1435 1.1448 1.1427	1.099 1.096 1.1006 1.0982 1.1008 1.1002 1.0989	1.161 1.153 1.156 1.152 1.154 1.155 1.159

x	y	№ вар	Значения аргумента
			x1	x2	x3	x4
0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60	0.860708 0.818731 0.778801 0.740818 0.704688 0.670320 0.637628 0.606531 0.576950 0.548812	4 8 12 16 20 24 28	0.1511 0.1535 0.1525 0.1642 0.1683 0.2014 0.1698	0.7250 0.7333 0.6730 0.6238 0.6386 0.6642 0.7123	0.1430 0.100 0.1455 0.1256 0.1387 0.1472 0.1356	0.80 0.7540 0.85 0.7621 0.7354 0.720 0.7876