Тема 6: «Ряды»
Пример 6.1. Исследовать на сходимость числовой ряд:
Степенной ряд
Пример 6.2. Исследовать
на сходимость ряд
Запишем формулу общего члена ряда в виде
.
Как
легко убедиться при n=1,2,3,4
будут получаться члены исходного ряда.
Проверим, выполняется ли необходимое
условие сходимости рядов:
.
Вычисляем предел
.
Таким образом, необходимое условие сходимости рядов не выполняется, следовательно, исходный ряд является расходящимся.
Пример
6.3. Исследовать на сходимость ряд
Данный
ряд является знакочередующимся,
следовательно, к нему можно применить
признак Лейбница: если члены
знакочередующегося ряда
убывают по абсолютной величине
и
,
то такой ряд сходится. Для исходного
ряда все условия признака Лейбница
выполняются, следовательно, данный ряд
является сходящимся. Исследуем теперь
данный ряд на абсолютную сходимость:
ряд
называется
абсолютно сходящимся, если сходится
ряд
.
В данном случае исследуем на сходимость
ряд:
и
сравним его с рядом
.
Поскольку
,
то этот ряд будет расходящимся. Применим
предельный признак сравнения: два
знакоположительных ряда
и
сходятся и расходятся одновременно,
если существует предел
.
В данном случае
.
Поскольку эталонный ряд расходится, то и сравниваемый ряд тоже расходится. Таким образом, исходный ряд является абсолютно расходящимся. Поскольку, по признаку Лейбница, мы получили, что он сходится, следовательно, исходный ряд является условно сходящимся.
Пример 6.4. Исследовать на сходимость
ряд
Применим
к данному ряду интегральный признак
сходимости рядов: пусть дан ряд
и
и пусть f(x)
– такая функция, что f(n)=an,
тогда несобственный интеграл
и исходный ряд сходятся и расходятся
одновременно. В данном случае получаем
следующий несобственный интеграл:
Поскольку несобственный интеграл расходится, то расходится и исходный числовой ряд.
Пример
6.5. Исследовать на сходимость ряд
Применим
к данному ряду радикальный признак
Коши: пусть дан ряд
и существует предел
,
тогда если l>1,
то ряд расходится, если l<1,
то ряд сходится, если l=1,
то ряд может сходиться и расходиться,
т.е. требуется применить другой признак
сходимости. В данном случае (используя
второй замечательный предел) получаем
.
Следовательно, исходный ряд является сходящимся.
Пример 6.6. Найти область сходимости степенного ряда:
.
Ряд
сходится при
(-1;1)- интервал сходимости ряда
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала
При х=-1 получаем следующий ряд:
Знакочередующийся ряд
Проверим на сходимость по признаку Лейбница.
1)
……….
Ряд сходится по признаку Лейбница
При х=1 получаем следующий ряд:
Числовой ряд проверим на сходимость по второму признаку сравнения рядов.
Будем сравнивать с гармоническим рядом.
гармонический ряд является расходящимся рядом.
=
=
=
=
=
конечное
число.
Оба ряда одновременно расходятся.
область сходимости
степенного ряда
Пример 6.7.Найдите область сходимости степенного ряда
Степенной ряд
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Ряд
сходится при
(-5;-3)- интервал сходимости ряда
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала
При х=-5 получаем следующий ряд:
=
Знакочередующийся ряд
Проверим на сходимость по признаку Лейбница.
1)
……….
Ряд сходится по признаку Лейбница
При х=-3 получаем следующий ряд:
=
Числовой ряд проверим на сходимость по второму признаку сравнения рядов.
Будем сравнивать с гармоническим рядом.
гармонический ряд является расходящимся рядом.
=
=
=
=
=
=
=1
конечное число.
Оба ряда одновременно расходятся.
область сходимости
степенного ряда
Пример 6.8. Вычислить интеграл с точностью до 0,001:
Пример 6.9.Разложите данную функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
Решение. Ряд Тейлора имеет следующий вид
Далее находим
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
Таким образом, первых три ненулевых члена ряда Тейлора исходной функции будут иметь следующий вид
Пример 6.10. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cosx, sinx, ex, ln(1+x), (1+x)m, arctgx:
а)
|
б)
|
,
.Решение. а) В данном случае воспользуемся разложением
Тогда
и
.
Окончательно получаем
.
б) В данном случае воспользуемся биномиальным разложением
В данном случае
Тогда
Таким образом, искомое разложение будет иметь вид
