Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Пример 2.1. Найти производную

При вычислении производной данной функции следует использовать правило дифференцирования частного: . В результате получим

Пример 2.2. Найти производную

Пример 2.3. Найти производную

Пример 2.4. Найти производную

Пример 2.5. Найти производную

Пример 2.6. Найти производную

Пример 2.7. Найти производную

.

Пример 2.8.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³–3x+1 на отрезке [1/2; 2].

Ответ :

Пример 2.9.

Составьте уравнение касательной в точке

Решение:

Найдем производную:

.

касательная

Ответ : касательная к графику функции в точке

Пример 2.10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию.

Построить график этой функции, используя результаты исследования.

Общая схема исследования:

1. Область определения

2. Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

3. Четность-нечетность, периодичность.

4. Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания функции.

5. Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости.

6. Асимптоты вертикальные и наклонные.

7. График.

2. Область определения Д(х)=

3. Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

Нет точек пересечения с осями координат

3) Четность-нечетность, периодичность

не является четной и не является нечетной, график не симметричен относительно оси оу и начала координат.

Функция не содержит тригонометрических выражений - не является периодической.

4)Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания.

точки экстремума х= и х=

Найдем знак первой производной на промежутках области определения

х
	+	0	-	Не опр	-	0	+
у		макс		Не опр		мин

5)Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости

=

действительных корней нет, точек перегиба нет . Найдем знак второй производной на промежутках области определения.

х		-1
	-	Не опр	+
у		Не опр

6) Асимптоты

У=кх+в

К=

в=

У=3х-5–наклонная асимптота

Вертикальные асимптоты

Х=1 точка разрыва

= = = =

= = = =

Пример 2.11.

Вычислить предельную выручку, если известны уравнения спроса10q+p-100=0 и значения цены р=80 на продукцию (- количество продукции. р-цена продукции) Что она показывает?

оптимальная цена, при которой получаем максимальную выручку и при которой спрос равен передложению

Количество товара, которое можно продать с учетом спроса при оптимальной цене.

Пример 2.12.

Функции спроса и предложения имеют вид - спроса, - предложения.

Найти: 1) равновесную цену ;

2) эластичность спроса и предложения для этой цены .

1. равновесная цена находится в случае, если спрос равен предложению

оптимальная цена, при которой получаем максимальную выручку и при которой спрос равен передложению

Количество товара, которое можно продать с учетом спроса при оптимальной цене.

_{Спрос на товар по оптимальной цене}

2) эластичность спроса и предложения для этой цены .

Эластичностью функции f(x) в точке x₀ называют предел

Спрос  –  это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E_D  – это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если |E_D| > 1, то спрос называется эластичным, если |E_D| < 1, то неэластичным. В случае E_D = 0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.