Автономная некоммерческая организация
высшего образования
«Сибирский институт бизнеса, управления и психологии»
Экономический факультет
Кафедра прикладной математики и информатики
МаТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Практические задания по дисциплине
для студентов очной формы обучения направления
38.03.01 Экономика
Красноярск 2016
Составители: доцент Л.М. Коренюгина, старший преподаватель Е.С. Разгулина
Коренюгина Л.М., Разгулина Е.С.
МаТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Практические задания по дисциплине для студентов очной формы обучения направления 38.03.01 Экономика
/ Л. М. Коренюгина, Е. С. Разгулина. – Красноярск: АНО ВО СИБУП, 2016. – с.
Все темы сопровождаются расчётными примерами с обстоятельными пояснениями. Предложены варианты выполнения контрольной работы.
Методические указания утверждены и одобрены к печати научно–методическим советом СИБУП от 2016 г. Протокол №
Коренюгина Л. М., Разгулина Е. С., 2016
АНО ВО Сибирский институт бизнеса, управления и психологии, 2016
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций» 5
Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» 16
Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» 28
Тема 4: «Интегральное исчисление» 37
Тема 5: «Дифференциальные уравнения» 44
Тема 6: «Ряды» 75
Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3 85
Итоговая контрольная работа №3 по теме 5 91
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 93
ВВЕДЕНИЕ
Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций»
Пример1.1
Найти область определения функции, исследовать заданную функцию на чётность.
a) f(x)= arctg(
);
b)
f(x)=
-ctg(2x);
Решение:
А)) f(x)= arctg( );
b) f(x)= -ctg(2x);
Пример1.2.
Найти предел
Здесь
мы имеем с неопределенностью вида
.
Разложим в числителе данное выражение на множители
Пример1.3.
Найти предел
Здесь
мы имеем с неопределенностью вида
.
Разделим числитель и знаменатель данной
дробно-рациональной функции на
(на x
в наивысшей степени). Тогда используя
свойства пределов, получим
Пример1.4.
Найти предел
Здесь мы имеем с неопределенностью вида –. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):
Пример1.5.
Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми:
Пример1.6.
Здесь мы имеем с
неопределенностью вида
.
При вычислении данного предела
воспользуемся методом эквивалентных
бесконечно малых величин.
=
Пример1.7.
Здесь
мы имеем с неопределенностью вида
.
Преобразуем выражение, стоящее в скобках,
следующим образом
.
Тогда исходный предел можно преобразовать так:
Предел выражения в квадратных скобках, в соответствии со вторым замечательным пределом, равен
.
В результате получаем
.
Пример1.8.
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
a
)
; b
)
; c
)
;
d
)
;
Решение:
а)
;
b )
;
c
)
;
=0
=0
d
)
Здесь мы имеем с неопределенностью вида .
При вычислении данного предела воспользуемся методом замены и методом эквивалентных бесконечно малых величин.
Пример 1.9.
Задана
функция y=f(x)
и два значения
аргумента x
и x
.
Требуется:
1) найти область непрерывности функции и установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из заданных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции сделать вывод о характере точки разрыва;
3) сделать схематический чертёж в окрестности точки разрыва.
f(x)=
12
, x
=
1 , x
=
0 ;
Данная функция элементарная
Область определения
Д(х)=
Во всех точках определения функция непрерывна
В точке x1 = 1 функция непрерывна
определим характер точки разрыва
Для этого найдем односторонние пределы
В точке x2 = 0 функция терпит разрыв второго рода
у
х
Пример 1.10.
Найти точки разрыва функции и определить характер разрыва. Построить график функции.
f(x)=
Данная функция задана тремя элементарными функциями, определенными на различных интервалах изменения х.
Функция непрерывна на каждом интервале
Разрыв возможен только в точках x1 = -1, x2 =0, где меняется аналитическое выражение функции
Для этого найдем односторонние пределы
В точке x1 = -1 функция непрерывна
f(0) не определено
В
точке x2
= 0 функция терпит разрыв первого рода
(односторонние пределы конечные числа
не равные между собой)
х
у
