Задача 1. Найти производную функции
1.10
Пример решения задачи 1. Найти производную функции
.
Поскольку производная суммы функций равна сумме производных, имеем:
.
Первые
три слагаемые обращаются в ноль ввиду
того, что производная константы равна
нулю. Оставшиеся производные выпишем
отдельно, вычисляя производные по
формуле
.
.
Задача 2. Найти производную функции
;
Пример решения задачи 2. Вычислить производную функции
.
Производная функции, как и в первом примере, равна сумме следующих функций:
;
;
;
.
Здесь было использовано правило дифференцирования сложной функции, а также формулы дифференцирования:
.
Задача 3. Найти производную функции
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
;
3.7
3.8
3.9
3.10
Пример решения задачи 3. Найти производную функции
.
Производная функции равна сумме следующих функций:
;
;
;
.
Здесь кроме правила дифференцирования сложной функции были использованы формулы
.
Задача 4. Найти производную функции
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
Пример решения задачи 4 Найти производную функции
.
Решение. Производная функции равна сумме следующих функций:
;
;
Здесь кроме правила дифференцирования сложной функции были использованы формулы:
.
Задача 5. Найти производную функции
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
Пример решения задачи 5. Найти производную функции
.
Искомая производная равна сумме следующих функций:
, 
,
,
Здесь кроме правила дифференцирования сложной функции были использованы формулы:
.
Задача 6. Найти производную функции
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Пример решения задачи 6. Найти производную функции
.
Искомая производная равна сумме следующих функций:
,
.
Здесь кроме правила дифференцирования сложной функции и свойств производных
были использованы формулы:
Задача 7. Найти дифференциал функции, используя свойства дифференциала
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
Пример решения задачи 7. Найти
дифференциал функции
,
используя свойства дифференциала.
Решение:
.
В свою очередь,
;
;
;
.
При решении были использованы свойства дифференциала:
;
;
;
;Для сложной функции
имеет место свойство инвариантности
дифференциала:
,
которое становится очевидным, если учесть правило дифференцирования сложной функции
и определение дифференциала
, или
.
Задача 8. Найти градиент скалярного поля в точке А(1, 2, 3)
8.1
8.6
8.2
8.7
8.3
8.8
8.4
8.9
8.5
8.10
Пример
решения
задачи 8.
Найти градиент скалярного поля
в точке А(0, 1, 2).
Решение: Находим градиент поля в произвольной точке с координатами
:
.
Подставляя значения точки А, получаем градиент поля в точке А:
.
Задача 9. Найти полный дифференциал функции, используя свойства полного дифференциала. В качестве функции взять скалярное поле Ф Задачи 8.
Пример
решения
задачи
9. Найти полный дифференциал функции
,
используя
свойства полного дифференциала.
Решение:
.
В свою очередь:
.
.
;
;
.
При решении примера были использованы свойства полного дифференциала:
;
;
;
;Для сложной функции
имеет место свойство инвариантности
полного дифференциала:
,
очевидность которого, вытекает из правила дифференцирования сложной функции
,
,
и определения полного дифференциала
.
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ