§ 3. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности

Определение: Число называется пределом функции в точке , если для любой числовой последовательности, сходящейся к числу , , соответствующая числовая последовательность , сходится к числу . Применяемые обозначения:

или при . Особо подчеркнем здесь выделенное слово «любой», означающее, что значение предела функции, не должно зависеть от вида выбранной последовательности , и должно оставаться одним и тем же для разных числовых последовательностей .

Другими словами, если для разных последовательностей , соответствующие последовательности стремятся к разным пределам, то предела функции в точке не существует.

Определение: Число называется пределом слева (справа) функции в точке , если для любой, сходящейся слева (справа) к числу числовой последовательности <     ( >  ) соответствующая числовая последовательность , сходится к числу . Для предела функции слева используются обозначения:

или   .

Аналогично, для предела функции справа:

     или         .

Теорема: Предел функции в точке существует и равен тогда и только тогда, когда пределы функции слева и справа в этой точке существуют и оба равны .

Продемонстрируем различные ситуации с существованием и не существованием предела функции , изображенной на Рис.2 .

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

Рис. 2

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6)  .

Определение: Число называется пределом функции на (на ), если для любой бесконечно большой числовой последовательности     соответствующая последовательность сходится к числу , т. е. , Применяемые обозначения:

или      .

Изобразим на Рис.3 указанные пределы:

2

-3

Рис. 3

,

.

Введенные здесь добавки +0 и –0 , используемые для уточнения расположения графика функции относительно ее горизонтальных асимптот и , означают, что асимптотическое поведение функции при таково, что функция располагается ниже горизонтальной асимптоты . А асимптотическое поведение той же функции при

таково, что график функции располагается выше горизонтальной асимптоты .