34

Избранные главы Качевский Д. Н.

элементарной математики

Избранные главы элементарной математики

Учебное пособие

Чебоксары «ДНК» 2016

К 30

УДК 517.2

Качевский Дмитрий Николаевич Избранные главы элементарной математики.

Чебоксары: ДНК, 2016, 35 с..

Учебное пособие по дисциплине «Избранные главы элементарной математики» содержит типовые контрольные задания для самостоятельной работы. Задания разбиты по вариантам и включают разделы: пределы, производные, дифференциалы, частные производные, полный дифференциал, неопределенный и определенный интегралы. Для каждой задачи приводится пример решения. Пособие может быть использовано как слушателями подготовительных курсов, так и студентами всех форм обучения, гуманитарных и технических специальностей

© Чебоксары, «ДНК», 2016.

Пределы §1. Бесконечность и ноль. Правила обращения

Дополним множество действительных чисел двумя “несобственными числами”: и (плюс бесконечность и минус бесконечность, знак (+) можно опускать), которые определим с помощью свойств:

1° , , ( действительное число).

2° ,  .

3° для > 0;      для < 0.

4°   .

5°    . ( Величина ( ) понимается как сколь угодно малая положительная или отрицательная величина).

6°     ( <  ).

7°     (  >  ).

8°         ( <  ).

9°   Графическое представление бесконечности на оси :

Рис. 1

0

Приведенные свойства дают возможность трактовать бесконечность как сколь угодно большое положительное или отрицательное число, обратное положительному или отрицательному нулю. О бесконечности как предельном значении числовой последовательности см. § 2.

§2. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Определение: Числовой последовательностью будем называть множество чисел: , каждое из которых имеет свой порядковый номер, по которому однозначно определяется по определенному правилу соответствующий элемент последовательности (член последовательности). Если задан ый член последовательности , то по нему можно восстановить и всю последовательность. Например, , тогда имеем числовую последовательность

Если с возрастанием номера члены последовательности приближаются сколь угодно близко к некоторому числу , то это число будем называеть пределом числовой последовательности , при этом числовая последовательность называется сходящейся к числу . Применяются обозначения:

,      или       .

Одно и то же число может быть пределом многих числовых последовательностей. Например,

.

Но, если последовательность имеет предел, то этот предел единственен и не зависит от способа его вычисления. Например, вычисляя предел

числовой последовательности с четными , получаем значение предела , равное нулю, с нечетными – значение предела либо +1, либо –1 в зависимости о выбранных значений нечетных чисел. Таким образом предела данной числовой последовательности не существует. Это можно установить, также если восстановить все члены последовательности

.

Видно, что с ростом члены последовательности не приближаются сколь угодно близко ни к какому числу.

Теперь дадим строгое определение предела последовательности:

Определение: Число называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа найдется такой номер , что при всех члены последовательности удовлетворяют неравенству .

Будем называть числовую последовательность бесконечно большой, если с ростом члены последовательности по модулю могут превысить сколь угодно большое положительное число. В этом случае можно записать: (если начиная с некоторого номера все члены последовательности положительны) ;или (если начиная с некоторого номера все члены последовательности отрицательны).

Приведем примеры бесконечно больших последовательностей:

  ,        .

Как видим, среди бесконечно больших последовательностей имеются последовательности, имеющие предел, равный бесконечности, предел, равный минус бесконечности. Существуют и последовательности, не имеющие предела (обозначим его отсутствие знаком ?).

Действительно, если предел существует, то он – единственен. Если для четных и нечетных знак бесконечности разный, то предел не существует:                                               

Пример 1.   Найти предел числовой последовательности

.

Решение примера :

0 0

.

0. 0

Стрелочка с нулем здесь означает, пренебрежение соответствующим слагаемым по сравнению с оставленным.

Решение примера :

0 0

.

0. 0

Решение примера :

0

.

0. 0

Решение примера :

предела не существует.

0

Здесь не существование предела связано с тем, что для четных и нечетных значений получается различные значения предела (1/4 и –1/4), что противоречит необходимости существования единственного предела.

При решении примеров были использованы свойства, приведенные в §1.