Микромодуль 4 расширение понятия числа

Большинство применений математики связано с измерением вели­чин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно: не всег­да единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измере­ния, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древно­сти: измерение длин, площадей, масс и других величин привело снача­ла к возникновению дробных чисел - получили рациональные числа, а в V в до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррацио­нальные числа назвали действительными. Строгое определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в XIX в.

Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, про­должается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как пра­вило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расши­ряется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств ра­циональных и действительных чисел с множеством натуральных чи­сел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество Q₊ положи­тельных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества R₊ положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R₊ до множества R всех действительных чисел.

Тема. 4.1. Положительные рациональные числа

Содержание

1. Расширение множества натуральных чисел

2. Понятие дроби

3. Положительные рациональные числа

4. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей (С/Р)

Основная литература 1-8 ;

Дополнительная литература 17,25, 33, 35, 38 

Тема 4.2. Действительные числа

Содержание

1. Понятие положительного иррационального числа

2. Действия над положительными действительными числами (С/Р)

3. Отрицательные числа (С/Р)

Основная литература 1-8 ;

Дополнительная литература 17,25, 33, 35, 38 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ДЕЙСТВИЯ НАД ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Цель. Уметь выполнять различные тождественные преобразования над положительными действительными числами

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Понятие дроби

2. Положительные рациональные числа

3. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

1. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей

2. Действительные числа