Лабораторная работа №1

Теория приближенных вычислений

Краткая теоретическая справка

Основные понятия

1. Пусть Х - точное значение некоторой величины , а х - ее известное приближенное значение. Тогда величину  = | Х - х | называют абсолютной погреш­ностью приближенного значения х. Так как точное значение Х обычно бывает не известно, то и  - тоже неизвестно. Поэтому пользуются оценкой числа , так называемой предельной абсолютной погрешностью.

Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа х называется положи­тельное число х такое, что  <= х. Таким образом, | Х - х I <= х. В качестве х можно взять бесконечно много значений. Обычно стараются выбрать как можно меньшее и в то же время простое по записи число х (см. ниже п.7).

На практике преимущественно пользуются понятием предельной абсолютной пог­решности. Поэтому слово "предельная" для краткости опускают, если это не может вызвать недоразумений.

2. Относительной погрешностью приближенного числа х называется отношение

 = / |X|.

П редельной относительной погрешностью приближенного числа х называется положительное число х такое, что  <= х. Так как Х и , как правило, неизвест­ны, но Х  х, то в качестве х обычно берут отношение х / |х|. Отсюда полу­чаем полезные формулы связи х и х:

На практике в подавляющем большинстве случаев пользуются предельными отно­сительными погрешностями. Называют их для краткости просто "относительными погрешностями", если это не вызывает недоразумений.

Относительные погрешности нередко выражают в процентах.

Пример. Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения . Так как  =3,1415926.. , то | -3,14| < 0,0015927 < 0,0016. По формуле связи получаем 0,0016/3,14 < 0,00051. Таким Образом:

х = 0,0016 , х = 0,00051 = 0,051% .

3. Первая слева, отличная от нуля цифра данного числа (или его мантиссы, если число записано в показательном виде), и все следующие за ней цифры называются значащими.

Пример: в числах 37,20*10⁵ и 0,004309 имеется по 4 значащих цифры.

4. Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

5. Цифра числа называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Правила записи приближенных чисел

6. Приближенные числа записываются в форме х ± х. Запись X = х ± x означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам:

x-x <= X <= x+x

При этом погрешность х рекомендуется подбирать так, чтобы

а) в записи х было не более 1-2 значащих цифр;

б) младшие разряды в записи чисел х и х соответствовали друг другу.

Примеры: 23,4±0,2 ; 2,730±0,017 ; -6,970,10.

7. Приближенное число может быть записано без явного указания его предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его записи (мантиссе) должны при­сутствовать только верные цифры (в широком смысле, если не сказано обратное). Тогда по самой записи числа можно судить о его точности.

Примеры. Если в числе А=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то А=0,005. Запись В=3,2 подразумевает, что В=0,1. А по записи С=3,200 мы можем заключить, что С=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200 в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.

Замечание. Вне рамок теории приближенных вычислений правило п.7 нередко на­рушается. Так, например, для расчетов в качестве радиуса Земли в школьных учебниках берется значение R=6400 км. Ясно, что это значение округлено с точ­ностью до сотен км, а его предельная абсолютная погрешность молчаливо предпо­лагается равной 50 км (собственно, она даже не нужна, так как не участвует в расчетах). В теории приближенных вычислений подобная неаккуратность не жела­тельна. Ведь по записи R=6400 км можно было бы сделать неверное заключение, будто R=1 км. Поскольку в записи числа 6400 последние две цифры не верны, то они должны быть отброшены. Т.е., следует писать 64*10² км или 6,4*10³ км.

Уточнение. В некоторых учебниках по вычислительной математике значащими цифрами принято считать все верные цифры, начиная от первой ненулевой. Это соглашение мало что меняет по сути (с учетом данного пункта), но его не сле­дует упускать из виду при употреблении некоторых понятий.

8. Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в за­писи чисел промежуточных результатов для сохранения точности вычислений. В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.

Уточнение. Если окончательный результат может быть использован в дальней­ших расчетах, в нем иногда оставляют одну сомнительную цифру в соответствии с принципом А.Н.Крылова: приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя цифра была сомнительной, и лритом не более как на одну - две единицы.

9. На запись точных чисел пункты 6 и 7 не распространяются.

Пример: в записи L = 2R число 2 - точное, поэтому его и пишут в естественном виде (а не 2,0(0) или как - нибудь еще).